Molnár Zoltán blogja

Tudományos népszerűsítő beszélgetés a matematikafilozófiáról

Évekkel ezelőtt a Klubrádió Hétzáró című műsorában hangzott el az alábbi beszélgetés:

(mp3)

A vendég Serény György matematikus volt, aki matematikafilozófiával is foglalkozik és azt meglehetősen "hard-formalista" módon teszi.

 

Barwise & Etchemendy

Jó lenne tudni, hogy mit gondolnak az szv.hu kedves olvasói Jon Barwise és John Etchemendy Language, Proof and Logic (B & E) (pdf) című könyvéről. Hazai viták kereszttüzében ugyanis nem áll, pedig ahogy én látom, felveszi a versenyt a nagy barna könyvvel (Máté–Ruzsa, Bevezetés a modern logikába (M & R)) legalább is a didaktikai szerepét tekintve. Mindenesetre, míg én szívesen olvasom a B & E-t, addig van, aki minősíthetetlen fércműnek tartja.

 

Deduktív-induktív kontra iteratív-komprehenzív

Rónai András blogján (A fenomenológia analitikus filozófiai kritikája) mellékszálként fut egy matematikafilozófiai vita, valami olyasmiről, hogy mennyiben terep a matematika a naturalista tudománymetodológia számára. No, ezt nem tudom. Azt viszont az utóbbi idők nagy eredményének vélem, hogy kiderült, a matematika legalább két ellentétes szemlélet ütköztetéséből jön létre -- és ez nem a deduktív-induktív fogalompár, ahogy azt a didaktikusok erőltetik. Talán emiatt nem tud nyugton maradni a matematika a természettudományok metodológiájának "tornapadján".

 

Kényszermondatok, kényszeremberek

A kormányfő és az ellenzék vezére az utóbbi napokban felmutatták az önreferenciás problémakör legszebb gyöngyszemeit:

Kormányfő: Minden politikus hazudik.

Tekintve, hogy a kormányfő politikus, csak hazudhat; de akkor van olyan politikus, aki igazat mond (Epimenidész paradoxona). Úgy tűnik egy ilyen szerepre szükségszerűen kell, hogy jelentkezzen valaki (van olyan ember, aki kényszeres késztetést érez a szerep vállalására). Ez meg is történt:

Az ellenzék vezére: Én igazat mondok.

Ezzel elérkeztünk a legszebb episztemológiai problémák egyikéhez: ha feltesszük, hogy létezik igazságértéke ennek a mondatnak, akkor vajon mi az? (Az igaz paradoxona).

 

Shelah és a pcf – új szemlélet a számosság aritmetikában

Cantor kontinuumhipotézisét gyakran említik mind a logika, mind a matematika filozófiájában, de akár az analitikus nyelvfilozófia alappéldája is lehet olyan kijelentére, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Cantor bebizonyította, hogy a természetes számok ℵ_0 (alef null) számossága kisebb, mint a valós számok c (gót kis cé) számossága. Cantor maga vetette fel, hogy plauzíbilis az a feltevés, hogy nincs e kettő között más számosság. Ez a Cantor-tétel szerint azt jelenti, – lévén c = 2^(ℵ_0) – hogy ℵ_0 és 2^(ℵ_0) között nincs számosság.

 

Kockák

Fakupában két (ugyanolyan) dobókocka. Megrázzuk, kiborítjuk. Mi a valószínűsége, hogy két hatos az eredmény?

 

Cantor-tétel ... Hol a hiba?

Nyugtalanító amit a http://www.geier.hu/Cantor/Cantor_rovid.htm szöveg alkotója állít. Biztos nincs igaza, de vajon hol a hiba? Például az biztos hibás, ahogy a halmazelméleti relációt (azaz egy halmazt) kétváltozós predikátunként kezel. De mi okozza a törést egészen pontosan a gondolatmenetben?

 

Calculus infinitesimalis

Mégis csak csodálatos a differenciálszámítás hatékonysága. És most nem arról a hatékonyságról beszélek, amit a fizikai alkalmazásokban tapasztalunk, hanem magán a matematikán belüli hatékonyságáról. Ami algebrailag, vagy elemi úton meg nem tehető, azt az analízis egy csapásra elintézi. Descartes a függvénygörbékhez húzott érintő meghatározásának problémáját még az algebra módszereivel oldotta meg. Az érintőt – mint mindig – úgy definiálta, mint azt a határhelyzetet, amit a görbét szelő egyenes felvesz, midőn a szelő két metszéspontja egybeesik. A számítás ekkor egy n-edfokú egyenlethez vezet, melynek két egybeeső gyökét kell keressük. A megoldást valamiféle diszkrimináns nulla voltából kell meghatároznunk (pl.: másodfokúnál a jól ismert gyök alatti kifejezés: b^2-4ac az, ami nulla).

 

Dedukciótétel

A matematikai intuícióról és a kondicionálisról folyó vita késztetett arra, hogy feltegyek egy kérdést a Dedukciótétellel kapcsolatban. Ez a tétel egyébként a "kondicionálisos vita" szempontjából is fontos lehet, mert a bizonyításelméleti szemantika szerint egy operátor jelentését bevezetési és kiküszöbölési szabálya adja. A -> jelnek pedig a modus ponens a kiküszöbölési szabálya és a Dedukciótétel a bevezetési szabálya.

 

A Nibelung-lakópark

Még filozófiáról sem tudok nagyon írni, pláne nem drámáról, legfeljebb annyit szoktam tenni, hogy képletekhez próbálok magyarázatot fűzni -- bár, ha igaza van Wittgensteinnek, akkor a képletek magukért beszélnek és feleslegesen tépem a számat. Azonban, most késztetést érzek arra, hogy felhívjam a figyelmeteket Térey János, A Nibelung-lakópark című drámájára, mely nagyon megmelengette a szívem. A Krétakör előadása is nagyon jó a budai atombunker-sziklakórházban (erről több helyen olvasható a neten), de ami igaziból felkeltette az érdeklődésemet, az a szöveg volt. Szép, élő és erős szöveg. Hihetetlenül képszerű és pont ott vannak benne a "bazdmegek", ahol mi magunk is íly módon fakadnánk ki. Hagen, a terrortörpe története hihető és szívhezszóló. A többi rúgnivaló alak mellett olyan hős, akivel szívesen együttérzünk.

 

"Az érvényesség tökéletes jellemzése"

Idézet: Lakatos Imre, Bizonyítások és cáfolatok: 86. oldal 3. lábjegyzet. „»A logika bizonyos érvek elvetésére késztet minket, de semmilyen érvet nem hitethet el velünk.« (H. Lebesgue, (...)) – * A szerkesztők megjegyzése: Fel kell hívni a figyelmet arra, hogy Lebesgue állítása – szó szerinti értelemben – hamis. A modern logika az érvényesség olyan pontos jellemzését adja, amelyet bizonyos érvek – bizonyíthatóan – igenis kielégítenek. Vagyis a logika bizonyára elhitethet velünk egy érvet, bár arra valóban nem késztethet hogy higgyünk egy érvényes érv következményeiben, hiszen lehet, hogy egy vagy több premisszát nem hiszünk el.”
 
XML csatorna