A számfogalom matematikatörténeti fejlődéséről

A tanulmányban a szerzõ bemutatja, mennyire nehéz magától értetõdõnek tekinteni azt, ahogy a matematika a számokat kezeli. A modern számfogalom hosszú történeti fejlõdés eredménye, amelyet a szerzõ részletesen ismertet a görög számfogalomtól a cantori halmazelméletekig terjedõen.


Nem ritka álláspont a matematikáról gondolkodók között, hogy a matematika tárgyai valamilyen értelemben belsők. Az ókor óta elterjedt elképzelés például, hogy az elme tulajdonképpen „tartalmazza” a matematikát, vagyis a matematika „velünkszületett”. Platón Menón című dialógusában Szókratész néhány oldalon keresztül egy tanulatlan rabszolgát kérdezget. Azt igyekszik bebizonyítani, hogy a matematika olyasvalami, amire a lélek az ideák világából „visszaemlékszik”. A rabszolgafiú – legalábbis a platóni Szókratész értelmezésében – magától látja be a négyzet oldala és átlója közötti összefüggést. Szókratész csak „bábáskodik”, kérdéseket tesz föl, és a válaszokban rejlő hibák beláttatásán keresztül vezeti a fiút addig, hogy maga találja meg a helyes megoldást.

Annak fényében, hogy még ma is viszonylag nagy – bár kétségkívül nem teljes – az összhang abban, hogy a matematika a tapasztalati világnál valahogy „erősebb” módon adott számunkra, meglepő lehet, milyen rögös út vezetett addig a számfogalomig, amivel ma rendelkezik a tudomány. Merész lenne azt állítani, hogy mindenről, amit számnak szokás nevezni, világos intuitív kép ragyogna a fejünkben; arról már nem is szólva, hogy nagyban függhet korszaktól és kontextustól, miféle dolgokat is értünk „számok” alatt. Gyanítható, hogy a hiperkomplex számok képe nincs ott az újszülött elméjében, és a transzcendens irracionálisok kapcsán is felmerülhetnek bizonyos kételyek. Ugyanakkor számos gondolkodó állítja, hogy például a kontinuumról minden elmében megbízható intuitív kép él. (Hogy a fenti fogalmak mit is takarnak pontosan, arról az alábbiakban lesz szó.) Kronecker, a nagy német matematikus ennél jóval óvatosabb. Megfogalmazása szerint isten megteremtette az egész számokat, a többi pedig az ember műve. Ha azonban azt tekintjük, hogy az európai matematikában a negatív számok egészen a XV. századig nem voltak ismertek, ez a gondolat sem tűnik teljesen magától értetődőnek.

Népszerű formában kifejtett történeti vizsgálódásaink során vessünk egy pillantást legelőször is a természetes számokra.

1. A természetes számok

Amikor számokról beszélünk, több dologra is gondolhatunk. Ha például azt a szót vesszük, hogy 'három', érthetünk rajta egy számnevet, egy számjegyet, minden háromtagú sokaság közös tulajdonságát és persze egy absztrakt fogalmat. Természetesen ehelyütt leginkább ez utóbbi érdekelne bennünket, de el kell fogadnunk, hogy főleg a „számtörténet” korai korszakaiban ez nem mindig különíthető el a számok többi aspektusától.

Általában úgy tartják a kutatók, hogy valódi matematikai képességekkel – ahogyan összetett nyelvvel is – az állatvilágban kizárólag az ember rendelkezik. Kétségtelen, hogy a tárgyak, formák elkülönítésére egyes állatok is képesek, de ami bizonyosan hiányzik belőlük, az a kölcsönös megfeleltetés képessége, márpedig ez az, ami a számolás (számlálás), s így bizonyos értelemben a matematika alapját képzi.1

A természetes számok fogalmának prehistorikus alakulásáról nyilvánvalóan nem állhatnak rendelkezésünkre dokumentumok, de még a kevéssé fejlett népek antropológiai vizsgálata is csak korlátozottan lehet a segítségünkre. Tulajdonképpen minden, amit a kérdésről mondhatunk, leginkább spekulatív. Graham Flegg szerint (aki Numbers: Their History and Meaning című könyvében tárgyalja a kérdést) egészen valószínű, hogy a számfogalmat a különböző javak, jószágok megszámlálásának igénye alapozta meg. Ehhez egyrészt elengedhetetlen az, hogy az ember a különböző méretű sokaságokat sokaságként ismerje fel, másrészt az is, hogy meg legyen benne a képesség ezen sokaságok összemérésére. Vagyis az embernek képesnek kell lennie arra, hogy a három birka és a három kavics alkotta kollekciókat kölcsönös megfeleltetésbe hozza. Ez azonban még kevés. Fel kell figyelnünk arra, hogy az összemért sokaságokon – modern terminológiával élve – nincsen rendezés. Másképpen fogalmazva, ez az összemérés önmagában még semmit nem mond az egy, a kettő, a három (értsük most ezeket akárhogy is) egymáshoz való viszonyáról.2

Fleggnek meggyőződése, hogy a „mentális rendezés” kialakulásában kulcsszerepe van az ujjakon való számolásnak. A lényeg itt nyilván az, hogy az adott kollekciókat az ujjaink által alkotott sokaságoknak feleltetjük meg. A kezünkön az ujjak pedig kétségtelenül sorba vannak rendezve. Azonkívül jól megkülönböztethetőek, ami abból is látszik, hogy mindegyiknek van neve. Hogy az ujjak mindig „kéznél levő” számológépként (vagy számlálógépként) fontos szerepet töltöttek be, nem lehet vitás. Ugyanakkor az, hogy a természetes számok fogalmának kialakulásában döntő szerepük lett volna, már igencsak kétséges. Egyrészt, érvelhetünk úgy, hogyha az emberben valahogy nem lett volna meg eleve a természetes számok rendezésének „ősfogalma”, soha sem ismerte volna fel az ujjak „rendezettségét”. (Ekkor bizonyos tekintetben a matematika a priori (tapasztalattól független) volta mellett is állást foglalunk.) Másrészt, (s ezt úgy tűnik Flegg is elismeri) nem csak az ujjak mutatnak ilyen rendezettséget, hanem mondjuk a fák is a barlangból kifele menet. Azonkívül pedig, ha így áll a dolog, felmerülhet a kérdés, hogy a nád növekedése, a faág leúszása a patakon vagy egyszerűen az idő „telése” miért nem alapozza meg hasonló egyértelműséggel a valós számok kontinuumának (az összefüggő „számegyenesnek”) fogalmát? (A filozófusok között nem ritka egyébként az az álláspont, hogy a matematika alapja az időintuíció.)

De az ujjak rendezettségével kapcsolatban is felvethetők kérdések. Ameddig egy kézen számlálunk, nincs probléma (ezt ésszerűen két irányban tehetjük, bár akár valami nagyság szerinti rendezést is belekeverhetnénk), de vajon, ha végigszámláltuk a jobb kezünk ujjait, melyik ujj következik a sorban a balon? Nálunk, a modern európai kultúrában az előzővel szimmetrikusan a hüvelyk, de ez korántsem magától értetődő. Számos ellenpélda is van rá a különböző (a miénknél általában némileg komplexebb) ujj-számolási rendszerekben. Ezekből jó párat be is mutat Flegg. Általában véve el lehet róluk mondani, hogy sokkal inkább tűnnek szofisztikált számolási és kommunikációs segédeszköznek, mint a természetes számok fogalma megvilágító erejű illusztrációinak.

Kétségtelen, hogy a számszavak vizsgálatakor Flegg elég jó meggyőz minket az ujjszámolás központi jelentőségéről. Megmutaja, hogy a számszavak struktúrája gyakran a kettő fogalmára alapul, de számos indián nyelvben az öt a kitüntetett elem. Arra pedig, hogy egy számnévstruktúrában a húsz bírjon központi szereppel, a világ minden táján találunk példát. Azonkívül az is nehezen vitatható, hogy a tízes számrendszer páratlan népszerűségéért is a végtagjaink tehetők felelőssé. Nem is érdemes vitába szállni Fleggel abban, hogy a számok „kezelése” és kommunikációja terén az ujjak szerepe aligha túlbecsülhető.3

A fentiekben, világosan tetten érhető a korábban vázolt probléma: amikor a számok „kialakulásáról” szólunk, nemigen tudjuk precízen elválasztani a „szám” különféle aspektusait.4 Mindazonáltal talán joggal feltételezhetjük, hogy e kezdeti korszakokban egy „n” számnév vagy számjegy egy n-tagú sokaság tulajdonságát jelölhette. Hogy ebből melyik ponton alakult ki a természetes számok absztrakt fogalma, hogyan vezetett az út a végtelenig, a számelméletig, s az aritmetikáig, csak igen homályos sejtéseink lehetnek. Ami biztos: az ókori görögöknél mindezt már megtaláljuk, és ennél persze jóval többet is. Ugyanakkor mai fejjel talán meglepő lehet, hogy matematikájukból hiányoznak a negatív számok és a nulla.5

2. A nulla és a negatív számok

Habár ma, a 21. század Európájában feltehetően már csaknem mindenki jó barátságban van a nullával és a negatív számokkal, talán nem annyira megrázó a gondolat, hogy ezek nem olyan „természetes módon” számok, mint a pozitív egészek. A tudománytörténet is azt mutatja, hogy bizonyos matematikai szofisztikáltságra van szükség ahhoz, hogy használatba kerüljenek, főleg pedig ahhoz, hogy a többi számhoz hasonló státuszt vívjanak ki.

Talán nem különösebben meglepő, hogy a nulla és a negatív számok története szorosan összekapcsolódik. Gyanítható ugyanis, hogy a negatív számok először a tartozások kalkulációjára szolgáltak. A pozitív és negatív javak egyensúlya pedig nyilvánvalóan a nulla. (Az efféle gyakorlati számításokból persze még nem következik szükségszerűen a nulla fogalma. De, mint említettük, az efféle „fogalomtörténeti” vizsgálatokra nincs, és nem is lehet egzakt eszközünk.)

Szólni kell azonban a nullának egy sajátos funkciójáról, mégpedig a helyiértékes számrendszerekben – így a mai, nyugati kultúra tízes számrendszerében – betöltött szerepéről. Ebben a szerepében a nulla üreshely-indikátor. Világos, hogy az ‘112’, ‘1120’ és az ‘1102’ jelsorok jelentése egészen más. Mindez trivialitásnak tűnhet, de nem az; elég abba belegondolni, hogy a számlálás eredményeire kiagyalt jelek nem tartalmazzák a nullát (hiszen a nulla hétköznapi értelemben nem “sokaság”), a helyiértékes jelrendszer azonban nélkülözhetetlenné teszi a használatát. Látható, hogy a nulla itt pusztán mint jel szerepel, nem szükséges, hogy valami absztrakt fogalmat indukáljon. Megjelenése ebben a formában igen korai: a táblák tanulsága szerint Babilóniában már a Kr.e. második évezredben használták.6 (Vagyis: Babilóniában fejlett helyiértékes (60-as) számrendszert alkalmaztak!)

Mint említettük, a közismerten igen magas szintű görög matematika nem használja a nullát és a negatív számokat. Hadd egyszerűsítsük le itt a végtelenségig ennek magyarázatát. A görög matematika geometria-központú, vonalhosszokkal, arányokkal dolgozik. A számelméleti kérdéseket is ezekre vezeti vissza. Az pedig könnyen belátható, hogy nulla vagy negatív hosszúságú szakasz nincs.7

A „absztrakt” nulla, – vagyis a nulla, mint szám – jócskán időszámításuk utáni: első nyomát Indiában találjuk 650 táján. Amiből egyáltalán megítélhető a nulla „számsága”, az az, hogy egy adott korszakban és kultúrában vizsgálják-e a számításokban, műveletekben betöltött szerepét. Nos, Indiában pontosan ez történik.

Bramagupta az első, aki kísérletet tesz a nulla aritmetikába való beépítésére. A nullával való számolás szabályait valahogy így összegzi: a nulla és egy negatív szám összege negatív, a nulla és egy pozitív szám összege pozitív, a nulla és a nulla összege nulla. Ha nullából negatív számot vonunk ki, az eredmény pozitív, ha pozitív számot vonunk belőle, az eredmény negatív. A nullát vonunk ki negatív számból, negatív számot kapunk, s ha a nullát pozitív számból vonjuk, pozitívat. Ha nullából vonunk nullát, az nulla. Azt hiszem, mindebben egyetérthetünk vele. Az osztásnál azonban kétségkívül zavarba jön. Homályosan úgy fogalmaz, hogy ha nullát osztunk akár negatív, akár pozitív számmal, az eredmény vagy nulla vagy egy olyan tört, melyben a nulla a nevező. A probléma azonban csak most jön. Állítása szerint – mai értelmezésben természetesen – ha nullával akár pozitív akár negatív számot osztunk, az eredmény egy n/0 formájú tört. Ha pedig nullát osztunk nullával, az eredmény nulla.

Kétszáz évvel később Mahavira megpróbálja helyreütni a csorbát. Egyrészt pontosítja Bramagupta állításait. Bármely számból nullát vonunk, maga a szám marad – mondja –, s bármely számot szorzunk vele, nullát kapunk. Az osztásnál azonban ő is bajba kerül, azt állítja ugyanis, hogy ha egy számot nullával osztunk, maga a szám marad.

Még háromszáz évvel később Bhaskara érdekes eredményre jut az osztással kapcsolatban. Észreveszi, hogy minél kisebb számmal osztunk valamit, annál nagyobb számot kapunk. Ebből arra következtet, hogy – mai írásmódban – n/0 = ∞. A gondolatmenet meggyőző lehet, de az eredmény természetesen rossz. Az következne belőle ugyanis, hogy ha végtelennel szorozzuk a nullát, akkor minden számot megkapunk eredményül.

Számunkra talán úgy tűnhet, hogy a nullával való osztás története a szendvics Woody Allen-féle feltalálásához hasonlít,8 csak épp az indiaiak nem voltak annyira szerencsések, mint Allen Sandwich grófja, nem jutottak el a mai szendvicsig, nem ismerték föl, hogy nullával osztani nem lehet. Egy ilyen ítélet azonban roppant nagy igazságtalanság lenne tőlünk. Nem valószínű, hogy a matematika tanulása során bárki számára is triviális lett volna az, hogy el vagyunk tiltva a nullával való osztástól. És éppen csak említés szinten: ugyancsak nem triviálisak e kérdés következményei a modern matematikai kutatásokban, így az algebrai struktúrák vizsgálata szempontjából. E történetnek inkább arra kellene némi fényt vetnie, hogy a nulla problémája meglehetősen mély és komplex.

Európába az indiai tízes számrendszer, s így a nulla arab közvetítéssel került. Meghonosításában kulcsszerepet játszott Pisai Leonardo, más néven Fibonacci a XIII. század elején. Igen valószínű azonban, hogy a nullát – a számokkal szembeállítva – ő is csak jelnek tekintette. A nulla széles körű elterjedésére pedig a XVII. századig kellett várni.

A negatív számokkal legelőször a kínai számolótáblákon találkozhatunk az első század környékén. Itt kétségtelenül tartozások feljegyzésére használják őket. Ám abból, hogy ezek a matematikai problémákban és megoldásokban egyáltalán nem szerepelnek, joggal következtethetünk arra, hogy mögöttük egyáltalán nem áll még a negatív számok mai fogalma. Minden bizonnyal helyesebb ebben az esetben nem is annyira negatív számokról, mint inkább negatív mennyiségekről beszélünk.

Aki először szabályokat alkot a negatív számokkal való műveletekre, az ismereteink szerint ismét csak az indiai Bramagupta. Európa meglehetősen nehezen és lassan barátkozik meg a fogalommal, jóllehet, azt hamar észreveszik, hogy a másodfokú egyenletek igen gyakran adnak negatív gyököket. Ezeknek az egyenleteknek azonban hosszú ideig csak pozitív megoldását fogadták el. A negatív számoktól való viszolygás mögött nyilván az a metafizikai megfontolás állhat, hogy egyáltalán hogyan is képzelhetnénk valamit, ami a semminél kisebb. Világos, hogy a kivonás után álló mennyiségekkel kapcsolatosan (melyek mai szemmel azért erős rokonságot mutatnak a negatív számokkal) nem merül föl fogalmi probléma. A negatív számok problémájának megoldására tett egyik javaslat éppen az, hogy persze, bátran írjuk egy papírra kiadási és bevételi oszlopot, de ne feledkezzünk meg arról, hogy mindkettőben pozitív, tehát egyszerűen csak: számok állnak. Jócskán a XIX. században járunk már, mire a matematikus-társadalom megbékél a negatív számok fogalmával. Ám a század első felében a nagy matematikus De Morgan még mindig amellett érvel, hogy ha egy matematikai probléma megoldása negatív, akkor minden bizonnyal a formalizálás során követünk el hibát. Sőt, akad olyan matematikus is (F. Busset), aki a matematikaoktatás csődjéért is „az emberi elme abberációjának netovábbját”, vagyis a negatív számokat teszi felelőssé.

Egyébként két releváns tanulmány, Anne Boye Some elements of History of the Negative Numbers illetve J.J O'Connor és E.F. Robertson A History of Zero című írása egyaránt utal arra, hogy a nullával és a negatív számokkal kapcsolatos nehézségek (pl. az oktatás területén) ma sem szűntek meg. Utóbbiak megjegyzik, hogy valószínűleg a nullával kapcsolatos fogalmi problémák okozták azt, hogy az emberek egy jó része meg volt győződve arról, hogy 2000. január elsején lépünk a XXI. századba. Bár a magunk részéről gyanítjuk, hogy ennek leginkább számmisztikai és kereskedelmi okai voltak, kétségtelen, hogy a nulla kérdése szerepet játszhatott. Főleg, ha a következőképpen vizsgáljuk a dolgot: vajon mennyire képesek az emberek az egész számok és sorszámok finom fogalmi megkülönböztetésére?9

3. A komplex számok

Ha a negatív számok fogadtatását finoman szólva nem az önfeledt lelkesedés jellemezte, a komplex számok helyében valószínűleg még kevésbé lennénk. Létrejöttük motivációja rokonságot mutat a negatív számok egy aspektusával: szükségesek ahhoz, hogy bizonyos (harmad- illetve magasabb fokú) egyenletek összes gyökét leírjuk. Ezek a számok azonban már annyira látványosan „mesterségesek”, hogy korábban „imaginárius (vagy képzetes) számok” néven tisztelték őket, s tisztelik olykor még ma is.

Komplex számon egy C(a+bi) formájú párt értünk, ahol a,b ∈ R, vagyis a és b valamely valós szám, i értéke pedig √-1. Tudjuk, hogy a valós számok körében a negatív számok gyökei nincsenek értelmezve. A komplex számok éppen ezeknek az értelmezései; számkörünk jogos és logikus bővítéséről van tehát szó.

A komplex számok kézenfekvő módon illusztrálhatók a koordinátarendszer segítségével. A vízszintes (x) tengely a valós számokat reprezentálja, innen veszi értékét a. bi értéke pedig a függőleges tengelyen (y) helyezkedik el. C komplex szám tehát azzal a ponttal reprezentálható, melynek x és y koordinátái rendre a és b.10

A komplex számokkal végzett műveletek némelyike kevéssé hasonlít a való számkörben megszokottakhoz; elvégzésükhöz gyakran kell trigonometrikus egyenleteket segítségül hívnunk. Ha például valamely komplex szám n-edik gyökét vesszük, egy origóközpontú szabályos n-szög összes csúcsát kapjuk eredményül. A Hamilton-féle „hiperkomplex” számok (melyeket több mint két koordináta-tengelyen tudnánk reprezentálni) „viselkedése” pedig már egészen messze esik attól, amit a valós számoktól középiskolában megszokhattunk.

Hamilton mellett Wessel, Argand és Gauss nevét kell megemlíteni a komplex számok kapcsán. A számkör tudományos meggyökeresedése a XIX. század első felére tehető, de nehéz lenne azt mondani, hogy akár manapság is az emberek többsége számára a számfogalom „természetes” részét képezné. Ez talán azért lehet érdekes, mert a komplex számok kialakulásának motivációi a negatív számokéval analógak. Vagyis mindkét számkört a tudomány „technikai” problémái hívták életre, kétségtelen persze, hogy a komplex számok mögött valamelyest szofisztikáltabb matematikai megfontolások állnak.

4. Racionálisok és irracionálisok

Racionális számokon olyan arányokat (törteket) értünk, melyek két egész szám hányadosaként felírhatók. Az irracionális számok olyan törtek, melyekkel ez nem tehető meg. (Ettől azonban persze még lehetnek arányok: gondoljunk csak a π-re, ami a kör kerülete és átmérője közti arányt jelöli meg.) Az irracionálisok jellemzője, hogy tizedestört alakjukban a tizedespont után egy végtelen hosszú számsor áll, úgy, hogy abban nincsen ismétlődő minta. Míg tehát a 999/132 tizedestört alakja végtelen ugyan, de periodikus: 7,56818181..., addig a √2 tizedes alakja ilyen: 1,4142135623730950488016887242097...11 Olykor éppen ezzel a tulajdonságukkal definiálják az irracionális számokat - nem túl szerencsésen, hiszen ez a lényeget hagyja homályban.

A racionálisok és irracionálisok problémája a görög matematika hőskorába visz bennünket. A legendárium szerint a √2 irracionális voltát először egy Hippaszosz nevű pitagoreus mutatta meg; teljesítménye elismeréseképpen Pitagorasz állítólag vízbe fojtatta. A tudományos súrlódások ehhez hasonló rendezése később a katolikus egyház gyakorlatává is hasonló okból vált: Pitagorasz a „szent” tanokat látta veszélyben forogni. Azt hirdette ugyanis, hogy a számok (vagyis itt az egység egész számú többszörösei), és azok arányai alkotják a világ lényegét, a természet ezekből épül fel. Bárhova is tekintsünk, ezeket a harmonikus arányokat látjuk; semmiképpen sem véletlen például, hogy a harmonikus, zenei hangok a szabályos húr-arányokkal korrelálnak.12 Ezt a világképet kétségkívül kellemetlenül érinthette egy olyan bizonyítás, ami megmutatta, hogy már a geometria egyik legelemibb problémája kapcsán, az egységnyi négyzet átlóhosszaként olyan „számot” találunk, ami tökéletlen, torzszülött vagy ördögi.

A √2 irracionalitásának bizonyítása az indirekt (vagy reductio ad absurdum-típusú) bizonyítások iskolapéldája. Hippaszosz eredeti bizonyítása sajnos nem ismert, de valami hasonló lehetett ahhoz, amit Euklidész mutat be az Elemek X. könyvében. Ennek a gondolatmenetét próbáljuk meg itt rekonstruálni. Tegyük fel először is, hogy √2 racionális, vagyis felírható ilyen alakban: √2 = p/q, ahol p és q egész számok (sőt, mint tudjuk a görögöknél természetes számok: p,qN; bár ennek a distinkciónak a jelen bizonyítás szempontjából nincs különösebb jelentősége). Ebből következően: 2 = p2/q2, majd ebből: 2q2= p2. Látnunk kell, hogy p2 csak páros lehet, és ha ő páros, akkor p-nek is annak kell lennie. Ha pedig így van, p-t felírhatjuk úgy, hogy 2m, ahol m valamely egész szám. Ebből következően: p2=4m2 . Vagyis: 2q2=4m2 és q2=2m2 . Ezért aztán q2 páros kell, hogy legyen; így páros q is. Helyettesíthetjük tehát 2n-nel, ahol n egész szám; így aztán: q2=4n2 . A következőt kaptuk: √2 = p/q = 2m/2n = m/n. Vagyis p-t és q-t visszavezettük m-re és n-re, innen pedig világosan látszik, hogy m és n is visszavezethető lenne valamely egész számra és így tovább a végtelenségig. Ez azonban ellentmond a (racionális) törtek egy alapvető tulajdonsásának: mindig van legegyszerűbb alakjuk (ez pontosan az, amikor a számlálónak és a nevezőnek már nincsen közös osztója). Ezért aztán p/q nem lehet racionális tört: √2 irracionális.

Könyveket lehetne írni az irracionálisok szerepéről a klasszikus görög matematikában (ahogyan írtak is). A π, a „kör négyszögesítése”, vagy az aranymetszés problémája sokaknak ismerős lehet. Most azonban ne időzzünk itt tovább, hanem ugorjunk egy kicsit, nagyjából két évezredet: a témánk szempontjából igazán lényeges fogalmi jellegű (és hatalmas) előrelépést az irracionálisok kapcsán a XIX. század hozta: akkoriban született meg az algebrai és a transzcendens számok precíz megkülönböztetése.

Az algebrai és transzcendens számok komplementerek a valós számok halmazán, vagyis a transzcendens számok azok, melyek nem algebraiak. Nézzük tehát, hogy ez utóbbiak micsodák. Algebraiak azok a számok, melyek (tetszőleges fokú) polinom egyenletek gyökei lehetnek. Vagyis p n-ed fokú algebrai szám, ha gyöke egy anxn+a(n−1)x(n−1)+...+a1x+a0=0 polinomnak, és nem elégít ki n-nél alacsonyabb fokú egyenletet. Tudjuk, hogy minden racionális szám algebrai. Ám az irracionálisok között is szép számmal akadnak ilyenek. A √2 például megoldása az x2 - 2 = 0 egyenletnek, vagyis másodfokú algebrai szám. Azonban például sem a π, sem az e (a természetes alapú logaritmus “alapja”) nem ilyen.13 E nevezetes számok akár azt is sugallhatnák, hogy valamiféle ritka kivételekről van szó, de távolról sem ez a helyzet: valójában a transzcendens számok jelentősen többen vannak, mint az algebraiak. Hogy pontosan mit is kell érteni azon, hogy “jelentősen többen” az a következő szakasz tárgya lesz. Addig is az algebrai számok és a traszcendens számok együtt alkotta sokaságát, a „szünetmentes számegyenest” kereszteljük el kontinuumnak.

5. Végtelenek

A végtelen (és tőle nem függetlenül a kontinuum) fogalma kezdettől fogva sok fejtörést okozott a gondolkodóknak. Azzal önmagában, hogy igen sokáig tudunk számolni, vagyis bármely számnál tudunk nagyobbat mondani nincs komolyabb probléma, mai terminológiával azt mondanánk, hogy birtokunkban van egy olyan rekurzív eljárás, amivel minden (természetes) szám rákövetkezőjét elő tudjuk állítani. Jogos igényünk lehet azonban, hogy a természetes számokról, az egész számokról vagy a valós számokról valamilyen egzakt értelemben mint összességekről beszélhessünk.

Kezdjük a kontinuum és a végtelen sorok problémájának egy filozófiai indíttatású antik megközelítésével, a Zénón-paradoxonokkal. Az éleai Zénón minden bizonnyal mestere, Parmenidész tanításainak védelmében alkotta meg érveit – legalábbis Platón nyomán ez a legelterjedtebb nézet. Vagyis szándékuk szerint az érvek erősen metafizikaiak, mégis szép illusztrációi a végtelennel kapcsolatos fogalmi problémáknak. Elég itt két (egymással szorosan összefüggő) jól ismert paradoxonra rövid pillantást vetni: a „stadion” valamint „Akhilleusz és a teknős” paradoxonára. Zénón érvelése szerint egy futó sohasem futhatja keresztül a stadiont, hiszen ahhoz előbb meg kell tennie az út felét, előtte azonban keresztül kell haladnia a fele út felezőpontján, majd a negyede út felezőjén és így tovább. (Végső soron tehát elindulni is képtelen.) De Akhilleusz sincsen könnyű helyzetben, ha utol akarja érni a szánalmasan lassú teknőst, akinek némi előnyt adott, hiszen először el kell jutnia abba a pontba, ahol előbb a teknős volt, de mire odaér, az állat már tovább vánszorgott. Ezért aztán el kell hogy jusson oda, ahol most van (a teknős), de mire odaér – tartson az bármilyen rövid ideig is – a teknős újra odébb ment, és így tovább. Gond most már csak azzal van, hogy a futó szemlátomást mégis keresztülfutja a stadiont, és minden bizonnyal Akhilleusz is megelőzi a teknőst. A példák eredetileg valószínűleg éppen arra szolgáltak, hogy megmutassák, a világ látszata és lényege között különbség van, mozgás valójában nem is lehetséges. Hogy a példák filozófia érvként mennyire jók, azt itt nem vizsgáljuk, nézzük inkább meg, mit mondanak a számokról.

Úgy tűnik, mindkét példából egy-egy végtelen, konvergens sor képe bontható ki. Az első esetben ez az 1/2; 1/4; 1/8; 1/16... számsor, a második esetben nem tudjuk pontosan, micsoda; ha valamilyen (mondjuk gyorsulási) függvényképet képzelnénk hozzá, egy konstanshoz közelítő hiperbola juthatna eszünkbe. Figyeljünk fel azonban arra, hogy már ez az interpretáció is problematikus, az következik belőle ugyanis, hogy Akhilleusz sebessége folyamatosan csökken. Ami mindenesetre igen valószínű, az az hogy mindkét példa visszavezethető valami efféle állításra: lehetetlen véges idő alatt végtelen számú ponton áthaladni.14 A véges szakaszok végtelenül oszthatók. Vegyünk rajtuk tetszőlegesen közel két pontot, biztosak lehetünk benne, hogy közöttük találunk még pontokat (egészen konkrétan végtelen sokat). De pontosan így viselkednek a racionális számok is: ez az, amit mai terminológiával sűrű rendezésnek hívunk.

Ismét ugrunk egy nagyot az időben, és ismét csak éppen megemlítünk valamit, amit említés nélkül hagyni – ha végtelenekről szólunk – nem lehet, de akár csak madártávlati tárgyalása is igen messzire vezetne. Ez az analízis. Az analízis (vagy differenciál- és integrálszámítás vagy infinitezimális kalkulus) gyökerei messze az ókorba (többek között például a zénóni problémákhoz vagy az ún. kimerítés módszeréhez) nyúlnak vissza. Az évszázadok során igen sok kiváló matematikus tette hozzá a magáét, amíg az lett, aminek ma ismerjük; elsősorban azonban Newton és Leibniz nevét szokás összekapcsolni vele. Alapvetően két, egészen gyakorlati problémakör matematikai kezelésének igénye hívta életre. A differenciálszámítás az időbeli fizikai változások leírásának és elemzésének hatékony eszköze lett, míg az integrálszámítás (első megközelítésben legalábbis) szabálytalan idomok területének, térfogatának meghatározásában segít. Ami a mi szempontunkból lényeges: az analízis erősen épít a végtelen közelítés, a végtelenül kicsi mennyiség, a végtelenül kicsi változás fogalmaira. Hogy ezek a fogalmak metafizikailag, esetleg logikailag igen problematikusak, az sokak számára világos volt. Mindez azonban az analízis sikerét nemigen befolyásolta, annál is kevésbé, mivel annak gyakorlati haszna nehezen túlbecsülhető.

Egy dolog mindenesetre biztos: a végtelen az analízisben potenciális végtelen. Ez – arisztotelészi értelemben – annyit tesz, hogy valamely sor elvileg a végtelenségig folytatható (mondjuk például, ha végtelen sok időnk van). Pontosan így fogja fel az analízis például azokat a végtelen, konvergens sorozatokat, melyeknek valamely véges szám a határértéke.

Ahhoz, hogy aktuálisan végtelen számokról, számsokaságokról beszélhessünk, egészen Georg Cantor fellépéséig, 1873-ig kellett várni.15 Cantor a különböző végtelenek egész univerzumát alkotja meg, s ettől nem függetlenül létrehozza a halmazelméletet, amely későbbi formájában tulajdonképpen az egész matematika formális megalapozásának hatékony eszköze lett.

A cantori halmazelméletet gyakorta nevezik naiv halmazelméletnek, mivel benne a halmaz fogalma informális: azon intuíciónkra épül, hogy az azonos tulajdonságú dolgok valahogyan egy sokaságba rendezhetők. Valóban, valami efféle „rendezést” hajtunk végre, amikor például a Testnevelési Egyetem utóvizsgázó hallgatóiról beszélünk. Kicsit formálisabban, azt állítjuk tehát, hogy bármely p tulajdonságra, ha px és py, akkor van olyan A, hogy x,y ∈ A. Mint mindjárt látni fogjuk, tűnjék bármennyire is természetesnek ez a halmazfogalom, ellentmondásra vezet.16

1873-ban Cantor nagy felfedezést tesz: bebizonyítja, hogy a valós számok (pontosabban már a transzcendens irracionálisok) megszámlálhatatlanul sokan vannak. Egészen addig nemigen gondolta senki, hogy a végtelen többféle lehet, az olyasmit pedig, hogy – mai terminológiával – minden végtelen halmaznak létezik legalább egy (valójában végtelen sok) vele egybevágó valódi részhalmaza,17 valami obskurus paradoxonnak tekintették. Nézzük, miről is van szó.

Nevezzünk két halmazt egybevágónak, ha elemeik kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetőek egymásnak, azaz – kevéssé szigorú megfogalmazásban – van olyan függvényünk, amely az A halmaz minden eleméhez hozzárendeli a B halmaz egy és csak egy elemét, úgy hogy B halmaz minden eleme egy és csak egy A-beli elemhez tartozzon, és B halmaz minden eleme tartozzon valamely A-béli elemhez. Minthogy a természetes számok jól reprezentálhatók halmazokként, mondhatjuk, hogy egy halmaz akkor véges, ha egybevágó egy természetes számmal. De nézzünk most egy végtelen halmazt, mondjuk a természetes számok halmazát (N). Nem vitás, tudjuk venni ennek a halmaznak egy (valódi) részét, úgy, hogy az vele a fentiek alapján egybevágó legyen. Hiszen tekintsük csak azt a halmazt, ami az összes pozitív páros számot tartalmazza (legyen E+). A függvényünk legyen olyan, hogy N n-edik eleméhez E+ n-edik elemét rendeli (ha úgy tetszik 1 alá írjuk a 2-t; 2 alá a 4-et, 3 alá a 6-ot stb.; ennek semmi akadálya, mindkét halmaz úgymond jólrendezett). Belátható, hogy ez vég nélkül folytatható, N minden eleméhez hozzárendelhető lesz E+ egy eleme. Vagyis a két halmaz egybevágó. De N egybevágó természetesen a prímszámok vagy az egész számok halmazával, és bármelyik olyan halmazzal is, ami N-től véges sok elemben különbözik.18

Ami talán ennél is meglepőbb lehet, hogy adott esetben, ha N-hez végtelen sok elemet adunk, még mindig vele egybevágó halmazt kaphatunk, ilyen például Q, a racionális számok halmaza. Cantor szemléletes bizonyítása a következő. Egy végtelen táblázat sorait és oszlopait számozzuk meg a természetes számokkal. Minthogy a racionális számok (egyik) definíciója éppen az, hogy felírhatók két egész szám hányadosaként, beláthatjuk, hogy a táblázatunkban (ha annak elemeit úgy állítjuk elő, hogy a nevezőbe a sor, a számlálóba az oszlop számát írjuk) minden racionális szám szerepelni fog, sőt, mindegyik végtelen sokszor fog benne szerepelni. Vagyis táblázatunk még végtelenül redundáns is. Most már csak össze kell kötnünk az elemeket egy átlós hullámvonallal, valahogy így: 1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1... Látható, hogy az így kapott sorozatban minden elem szerepelni fog, és az is, hogy bátran megsorszámozhatjuk őket a természetes számokkal (hiszen ez itt éppen egy sorba rendezés), vagyis Q is egybevágó N-nel. Az N-nel egybevágó halmazokat megszámlálhatóan végtelen vagy “ω számosságú” halmazoknak nevezzük.

Látható, hogy ezek a halmazok roppant mód ellenállók a bővítéssel és a szűkítéssel szemben, (az az igazság, hogy még a Q-nál jóval “nagyobbnak látszó” halmazokra is belátható, hogy ω számosságúak). Csakhogy Cantor azt is bebizonyította, hogy minden A halmaznál nagyobb annak po(A) hatványhalmaza; vagyis azon halmaz, melynek A összes részhalmazai az elemei. Azt a bizonyítás reprodukálása nélkül is beláthatjuk, hogy bármely n elemű véges F halmazra igaz az, hogy 2n számú részhalmaza van, és n<2n. A po(ω) halmaz elemei tehát egy bizonyos értelemben “többen vannak”, mint ω-éi; mégpedig megszámlálhatatlanul sokan, pontosan ez a valós számok R halmazával egybevágó, (ahogy mindjárt látjuk: kontinuum számosságú) halmazok karakterisztikus tulajdonsága. Talán már nem lepődünk meg annyira, hogy Cantor szerint R bármely összefüggő részhalmaza egybevágó R-rel, valamint, hogy egy egységnyi négyzeten is éppen „ugyanannyi pont” található, mint ahány szám mondjuk 0 és 1 közt van.

Ahhoz, hogy precízebben beszélhessünk arról, hogy egy adott halmaz elemei hányan is vannak, Cantor bevezeti a rendszám és a számosság (vagy kardinalitás) fogalmát. A véges halmazok körében a rendszám és a számosság megegyezik, csak a végtelenben válnak szét. Valahogy úgy kell ezt elképzelni, hogy egy végtelen halmaz vele egybevágó bővítményeit (vagy éppen valódi részeit) különböző rendszámúaknak tételezzük. Ezen rendszámok közös tulajdonsága a számosságuk. A legkisebb végtelen (transzfinit) számosság az ω, a megszámlálhatóan végtelen halmaz számossága. Láttuk, hogy ennek hatványhalmaza po(ω), vagyis a kontinuum. Semmi okunk nincs azonban arra, hogy itt megálljunk, hiszen po(po(ω))-val újabb számossághoz jutunk (hiszen minden halmaznál nagyobb annak hatványhalmaza). Természetesen ezt is hatványozhatjuk és így tovább a végtelenségig; így jutunk el a végtelen számosságok végtelen hierarchiájához. Világos, hogy amíg arról, hogy a valós számok hogyan töltik ki szünetmentesen (kontinuus módon) a számegyenest él bennünk valami többé-kevésbé élénk, belső kép, az efölötti transzfinit számosságokról nem rendelkezünk igazi intuícióval. Cantor idejében azonban a matematikusok jórészét az intuitív kép hiánya már egyáltalán nem zavarta, a szemléletileg messze nem triviális komplex számok vagy sokdimenziós terek matematikai relevanciája és haszna már világos volt.

Mint említettük, a cantori halmazelmélet ellentmondásos, paradoxonokhoz vezet. A halmazképzési szabályaink megengedik, hogy előállítsuk az ún. Ru Russell-halmazt: legyen Ru azon halmazok halmaza, melyek nem elemeik önmaguknak. Az eddigiek alapján ezt minden további nélkül megtehetjük, feltettük, hogy egy tetszőleges tulajdonság definiál egy halmazt (még ha az adott esetben üres is). A kérdés mármost az, hogy Ru eleme-e önmagának? Ha eleme, akkor a definíció szerint nem lehet eleme önmagának; ha viszont nem eleme, akkor eleme kell hogy legyen önmagának, hiszen Ru éppen ezeket a halmazokat gyűjti elemként maga alá.19 (Abban, hogy halmazok lehetnek-e önmaguk elemei, a hétköznapi intuíció nem nyújt egyértelmű útmutatást, bár talán inkább hajlanánk arra, hogy nem. A teniszütők halmaza például kétségkívül nem teniszütő. Ugyanakkor a Kossuth utcai lakosok beadványaiból összefűzött paksaméta maga is lakossági beadvány, a bibliográfiai könyvek bibliográfiája maga is bibliográfiai könyv.) Ne hallgassuk el, hogy erre az ellentmondásra (ami közeli rokonságban áll a görögök óta ismert hazug-paradoxonnal), ha nem is ebben a formában, Burali-Forti és maga Cantor is rábukkant.

A problémára az (egyik lehetséges) megoldást később a halmazelmélet Zermelo és Fraenkel-féle axiomatikus felépítése (ZF) nyújtotta. Ebben a keretben már nem tudunk Ruhoz hasonló, “rosszul viselkedő” halmazokat előállítani. Pontosabban: ha mégis számot tudunk adni hasonló összességekről, azok nem halmazok, hanem attól eltérő típusú, eltérő “működésű” sokaságok lesznek.

De az axiomatikus felépítés másban is segítette a tisztánlátást. Cantor a végtelen halmazok fentebb említett tulajdonságaiból kiindulva azt feltételezte, hogy ω és po(ω) között nincsen köztes számosság. Ez az, amit az utókor kontinuum-hipotézis néven tisztel. Általánosított változata azt mondja ki, hogy bármely végtelen halmaz számosságának rákövetkezője hatványhalmazának számossága. Ezt Cantor a maga eszközeivel bizonyítani nem tudta. Később fény derült arra, hogy a hipotézis független az axiomatizált halmazelmélettől, azaz benne nem se nem bizonyítható, se nem cáfolható. A kontinuum-hipotézis máig intenzíven kutatott kérdése azonban már messzire vezet, s csak igen áttételesen kapcsolódik a tudományos számfogalom történeti kérdéseihez.

6. A Jó, a Rossz és a Csúf

Ez az írás nem kíván állást foglalni a matematika természetéről folyó (több) évszázados ádáz filozófiai vitában. A magunk részéről úgy véljük, a számfogalom történetére tekintve akár a platonista, akár a formalista, akár az intuicionista rámutathat olyan momentumokra, melyekben nézeteinek bizonyos fokú igazolását láthatja.

A platonista mondhatja, a tanulság mindössze annyi, lám, a matematika tőlünk független világának feltárásához egyre bővülő számfogalomra van szükségünk. Tudásunk azonban e téren is kumulatív: egy ízben sem mutatkozott szükség arra, hogy egy korábban bevezetett számfogalomtól megszabaduljunk.

Az intuicionista hangsúlyozhatja például számérzékünk fontosságát, az „elemi” számfogalmak intuitív tisztaságát. Kétségtelen, a hiperkomplex vagy akár már a valós számok fogalmának értelmezése kapcsán adódnának komoly problémák, de a konstruktivizmussal kapcsolatos kérdésekbe ehelyütt inkább ne menjünk bele.

A formalista azon állítása, hogy a teljes matematika jelentés nélküli szimbólumok önkényes szabályokon nyugvó manipulációja, a természetes számokra vonatkozó történeti megfontolások, valamint a neurológiai kutatások tükrében nehezen tartható ugyan, de az is kétséges, hogy valóban létezett-e olyan formalista, aki ennyire radikális álláspontra helyezkedett volna. Jó igazolást találhat azonban a formalizmus a számfogalom bővülésének történetében. Hiszen szemlélhető úgy a dolog: számfogalmunkban nincs semmi „szilárd”, semmi „objektív”, az éppen a matematika „játszmája” adott, teljes mértékben kontingens állása szerint alakul.

És valóban úgy tűnik, hogy míg a természetes számok fogalma bizonyos értelemben „magától értetődő”, rendelkezik valamiféle (legalább antropológiai) univerzalitással, addig mai számfogalmunk kétségtelenül a matematikatudomány egyes speciális problémái nyomán vált az idők során azzá, ami.

Jegyzetek

A cikk Tichy Brigitta közreműködésével készült.
1. Ettől némiképp eltérő álláspontot fogalmaz meg Stanislas Dehaene. Lásd a 3. lábjegyzetet.
2. A matematikusok és filozófusok gyakorta mutatnak a kavicsokra (vagy akár a hidrogénatomokra), ha a természetes számoknak egy természetes “modellje” kerül szóba. Ez a modell azonban meglehetősen tökéletlen. Nem csak arról van szó, hogy a kavicsok (és feltehetőleg a hidrogénatomok is) véges sokan vannak (szemben a természetes számokkal, amik nem), de az sem triviális, hogy egy kavicsnak (pláne egy hidrogénatomnak) lenne rákövetkezője, olyan értelemben, ahogy a 4-nek rákövetkezője az 5. (Mondhatja valaki, hogy a négy kavics alkotta sokaság és az öt kavics alkotta sokaság között viszont már megvan a rákövetkezés. Csakhogy e sokaságokból nem csak egy-egy darab van vagyis egy adott sokaság nem csak egy sokaság rákövetkezője lesz és neki sem egy darab rákövetkezője lesz: nem valószínű, hogy ilyesmit szeretnénk a természetes számok „modelljének” gondolni.)
3. Mindenképpen említést érdemel egy egészen különböző megközelítés, Stanislas Dehaene evolucionista elmélete. Dehaene különböző vizsgálatokkal megmutatta, hogy numerikus képességeinkért több agyi terület is felelős. Amikor becsléseket végzünk, rövid idő alatt mennyiségeket vetünk össze, a mindkét agyféltekében megtalálható úgynevezett parietális területek aktiválódnak; érdekes módon ezek felelősek a kéz és ujjmozgásokért is. A komplexebb matematikai feladatok végrehajtásakor azonban azon agyi területek aktívak, melyek a nyelvi képességek mögött is állnak.
A parietális területek aktivitásához egy kezdetleges „számérzék” kapcsolódik, ez lehetővé teszi, hogy alacsonyabb természetes számok közötti relációkat hozzávetőleg pontossággal megítéljünk. Ez a képesség csecsemőknél ugyanúgy megtalálható, ahogyan egyes állatoknál, főleg emlősöknél és madaraknál. Nem emberi specifikumról van tehát szó, hanem olyan képességről, mely az evolúció során több élőlényben is kialakult. Azt is tudjuk, hogy e „mentális számegyenes” pontossága körülbelül 10%-os, azaz számérzékünk akkor működik jól két mennyiség elkülönítésében, ha közöttük a különbség több mint 10%. Természetesen tényező még, hogy mekkora mennyiségekről van, alacsony nagyságrendeknél a becslések pontosabbak.
Ennyi tehát az, ami a matematikából bizonyosan „velükszületett”. A pontos számreprezentáció, a műveletek, azon dolgok tehát, melyek a bal agyfélteke nyelvi régióit aktivizálják minden bizonnyal (olykor kínkeserves) tanulás eredményei.
4. Igaz, azt is definiálatlanul hagytuk, mit értünk „fogalom” alatt.
5. Azt nem állíthatjuk, hogy a görögöknek ne lett volna nulla-fogalma. Ám, mivel az arányok felírásában használhatatlan, nem tekintették számnak.
6. A Babilóniai nulla (melynek még nem ’0’ formában állt) csak számok között jelent meg. Vagyis az ’112’ és a ’1120’ között csak a kontextus tett különbséget.
7. Ugyanakkor valószínű, hogy a ’0’ szimbólum viszont görög asztronómusoktól származik.
8. Sandwich gróf első komoly munkája: egy szelet kenyér, azon még egy szelet kenyér s azon egy szelet pulykahús – csúfos bukás volt. Következő kísérlete, két pulykahús közt egy kenyér, szintén nem arat túl nagy sikert, de David Hume biztatására folytatja a munkát, és végül – még néhány tévút után – a két szelet kenyér közé helyezett sonka hagymával és mustárral meghozza neki a méltó világhírt. (Woody Allen: Jó, de képes-e erre a gőzmozdony?)
9. Az évszámok ugyanis természetesen sorszámok. Ha a valós számok “egyenesének” segítségével illusztráljuk a problémát, azt mondhatjuk, hogy intervallumokat számozunk meg velük. Ennek megfelelően az első ilyen intervallum a nulla és egy közötti összes szám halmaza. Világos: nincs sem időszámításunk szerinti, sem előtti nulladik év. (Bár olykor hallani olyan mindenre elszánt emberekről, akik keresik.)
10. A komplex számok ily módon tehát hosszúságok és szögek formájában is reprezentálhatók.
11. A számítógép zsebszámológépe alkalmasint eddig írta ki a jegyeket; ettől persze akár még periodikus is lehetne. Hogy nem az, arra azonnal látunk egy klasszikus bizonyítást.
12. Más kérdés, hogy jelen zenei akusztikai, zeneelméleti ismereteink szerint a helyzet koránt sem ennyire egyszerű.
13. Az előbbiről 1882-ben Lindemann, az utóbbiról 1873-ban Hermite bizonyította ezt a tulajdonságot.
14. Helyesen érvel persze Arisztotelész, amikor Fizikájában azt mondja, kicsit másképp fekszik a dolog, ha úgy tesszük fel a kérdést: megtehető-e végtelenül osztható véges táv végtelenül osztható véges idő alatt?
15. Közvetlen előzményként illik itt Bolzano és Dedekind nevét megemlíteni.
16. Megjegyezzük, manapság olykor naiv halmazelméletként hivatkozunk olyan ellentmondásmentes megközelítésekre is, melyek egyetlen „bűne”, hogy nem axiomatizáltak, vagyis a ‘halmaz’ és az ‘eleme’ reláció fogalmát magától értetődőnek veszik.
17. A halmaz B valódi részhalmaza alatt olyan halmazt értünk, melyek elemei A-nak is elemei, de A-nak van olyan eleme, ami nem eleme B-nek.
18. A végtelen halmazoknak éppen az a formális definíciója (informálisan), hogy egybevágóak valamely valódi részhalmazukkal.
19. Eredetileg Gottlob Fregenek az aritmetikát megalapozó munkájában mutatta ki Bertrand Russell ezt a paradoxont.

Irodalom

Boye, A. (2001): Some elements of History of the Negative Numbers, (http://nti.educa.rcanaria.es/penelope/uk_confboye.htm).
Byl, J. (2001): Theism and Mathematical Realism, (www.acmsonline.org/Byl-realism.pdf).
Cantor, G. (1932): Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, hrsg. E. Zermelo, Berlin 1932, Hildesheim 1962.
Dehaene, S. (2003): A számérzék, Osiris, Budapest.
Euklidész (1983): Elemek, Gondolat, Budapest.
Flegg, G. (1983): Numbers: Their History and Meaning, Dover, Mineola, N.Y.
Ifrah, G. (2000): The Universal History Of Numbers: From Prehistory To The Invention Of The Computer, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ.
Kirk, G. S., J. E. Raven, M. Schofield (1998): A preszókratikus filozófusok, Atlantisz, Budapest. 1998.
O'Connor, J. J., E. F. Robertson (2000): A History of Zero, (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html)
Platón (1984): Menón, In: Platón összes művei I., Európa Kiadó, Budapest.
Woody Allen (1984): Jó, de képes erre a gőzmozdony?, in: Woody Allen: Lelki jelenségek vizsgálata., Budapest, Európa Kiadó.
Zaslavsky, Cludia (1984): Afrika számol, Gondolat, Budapest.

 

Hozzászólás megjelenítési lehetőségek

A választott hozzászólás megjelenítési mód a „Beállítás” gombbal rögzíthető.
Molnár Zoltán, 2009, március 28 - 11:58

Én pedig nagyon örülök, hogy válaszoltál!

Az 1/0-t meg lehet fogni algebrai (számkör szimmetria) és analízises (határérték) oldalról is. Az indiaiak azt gondolom a határérték felől döntöttek úgy, hogy ∞-ként értelmezik: "Még háromszáz évvel később Bhaskara érdekes eredményre jut az osztással kapcsolatban. Észreveszi, hogy minél kisebb számmal osztunk valamit, annál nagyobb számot kapunk. Ebből arra következtet, hogy – mai írásmódban – n/0 = ∞." mondod, tehát valóban: itt határértékről van szó.

0. év kapcsán pusztán arra kívántam rámutatni, hogy a "J.J O'Connor és E.F. Robertson" szerzők "A History of Zero című írása egyaránt utal arra, hogy a nullával és a negatív számokkal kapcsolatos nehézségek (pl. az oktatás területén) ma sem szűntek meg. Utóbbiak megjegyzik, hogy valószínűleg a nullával kapcsolatos fogalmi problémák okozták azt, hogy az emberek egy jó része meg volt győződve arról, hogy 2000. január elsején lépünk a XXI. századba." megállapítása egyszerűen butaság! Ezek nem a nullával kapcsolatos fogalmi problémák, hanem az időszámítással kapcsolatos fogalmi problémák miatt vannak. A "nulladik év" ugyanúgy értelmes kifejezés, mint a "termodinamika nulladik főtétele", vagy "a nulladik közelítésben", vagy a kétezredik év ... stb. kifejezésekben lévő sorszámok. Csak sajnos kihagyták a 0. évet, amit te (ugyanolyan jogosan mint én a nulladikat) 0 évnek nevezel.

Szerintem nem a "tetszőleges tulajdonság"-sággal van a baj, hanem a predikativitással. Ha lehet egy nyelvben tárgyasítani predikátumokat, akkor fennáll a lehetősége az önmagára hivatkozásnak és így a hazug paradoxona megjelenésének. Tehát nem a tetszőleges tulajdonsággal van a baj, hanem a predikátumok korlátlan tárgyasításának. Például a regularitás axiómájának az egyik motiáciája az, hogy ez kizárja olyan halmazelméleti függvény létét, mely saját értelmezési tartományának eleme.

Szélsőséges formalista álláspontként tüntetted fel ezt: "a teljes matematika jelentés nélküli szimbólumok önkényes szabályokon nyugvó manipulációja". És állítottad, hogy ilyen álláspont nehezen fellelhető. Én csak ennek egy jellegzetes példáját mutattam be éspedig azt, hogy amikor egy matematikus (elsősorban algebrista, algebrai geométer) dolgozik, akkor pont ennek a formalizmusnak a szellemében jár el. Matematikai szemszögből önkényes kiinduló feltételekből egy algebrai gépezet működtetésével algebrai eredményeket ér el és ezt nevezi matematikának. Ez egy pragmatikus, strukturalista álláspontra helyezkedő ágens tevékenysége, ami nagyon nincs távol a fent vázolt formalista állásponttól. Ha megkérdeznénk a dolgozótól, hogy szerinted mi a jelentése az algebrai geometriának, akkor valószínűleg nem túl lelkesen hivatkozna konkrét példákra, felületekre, mátrixcsoportokra aztán hozzátenné, hogy "bár ő inkább az absztrakt tételek gyártásával foglalkozik", mintsem a jelentés forrásakánt megjelölet konkrét interpretációkkal.

Csatári Ferenc, 2009, március 26 - 11:03

Kedves Zoltán,
köszönöm a megjegyzéseket, némelyikre reagálnék is.
1. Abból a megfontolásból tehetnénk ilyet, hogy esetleg szeretnénk megtartani (alap)műveleteink "szimmetriáját" az összes számra, gondolom azért, mert az szép (lenne). Ez az, ami nem megy. Ez nem egészen ugyanaz, mint a konvergens sorozatok határértékeinek kérdése.
2. Nulladik év? És akkor első év a nulladikkal, az időszámításunk előtti első év pedig épp az ie. nulladik évvel esne egybe? Hm. Inkább úgy lehetne, hogy van az időskálán egy nullpont (ahogy van is) és mondjuk az első év időpontjaira úgy hivatkozunk, hogy nulla év akármennyi hó stb. (ahogy a váci vonat esetében). De valamiért hagyományosan az éveket, hónapokat, napokat sorszámozzuk, szemben az órákkal, amiket nem. Puszta konvenció. De ha már így van... (Bár mondunk olyat, hogy "a huszonnegyedik órában vagyunk." Érzésem szerint a metafora épp a 23 óra és 0 óra közé eső intervallumot használja, arra hivatkozik sorszámmal.)
6a. Igen, persze, hogy ez a baj. Talán a megfogalmazás nem egészen szerencsés, mindenesetre a tetszőleges tulajdonság "megcsinálja", hogy az osztályok individuumok lehessenek.
7. Hogy a matematikus szakmájából adódóan nem lehet más, mint formalista? Hát, nem tudom. Olyasmit talán készséggel készséggel elismernék, hogy x matematikusként végzett tevékenységére nézve nem bír relevanciával esetleges filozófiai inklinációja akár a formalizmus akár a platonizmus felé. (És akkor a konstruktivizmusról most mélyen hallgassunk.)

Molnár Zoltán, 2009, február 23 - 10:58

1) Észreveszi, hogy minél kisebb számmal osztunk valamit, annál nagyobb számot kapunk. Ebből arra következtet, hogy – mai írásmódban – n/0 = ∞. A gondolatmenet meggyőző lehet, de az eredmény természetesen rossz. Az következne belőle ugyanis, hogy ha végtelennel szorozzuk a nullát, akkor minden számot megkapunk eredményül.

Csak akkor rossz, "ha végtelennel szorozzuk a nullát" de mért tennénk ilyet? Bhaskara valószínűleg elég jó volt analízisből, hogy ezt ne tegye. Egyébként ezt pontosan ilyen kontextusban tanítjuk analízisből: a(n) → p>0 és 0 < b(n) → 0, akkor a(n) / b(n) → ∞ szimbolikusan: p/(0+)=+∞

2) Utóbbiak megjegyzik, hogy valószínűleg a nullával kapcsolatos fogalmi problémák okozták azt, hogy az emberek egy jó része meg volt győződve arról, hogy 2000. január elsején lépünk a XXI. századba.

Az "emberek" nagyon is tisztában vannak a 0-val: ha lett volna 0. év, akkor 2000 -ben kezdődne a XXI- század :) Inkább az nem volt tisztában a 0-val, aki kihagyta az időszámításból (Dionysius Exiguus VII. sz.). Ha indul 0 óra 17 perckor Vácra vonat, akkor mért nincs 0. év?

3) Ha a negatív számok fogadtatását finoman szólva nem az önfeledt lelkesedés jellemezte, a komplex számok helyében valószínűleg még kevésbé lennénk.

Amint Gauss és Argand előállt a komplex számok geometriai interpretációjával, a komplex számok ünnepelt fogalmai lettek a matematikának.

4) Addig is az algebrai számok és a traszcendens számok együtt alkotta sokaságát, a „szünetmentes számegyenest” kereszteljük el kontinuumnak.

Mit értünk "szünetmentes" alatt? Ki merné állítani, hogy egy egyenes pontjai (ahol egyenesre szünetmentesség mintapéldájaként és nem a Dedekind szeletes definícióval adottként gondolunk) ugyanazok mint a a valós számok halmazának elemei?

5) Egy dolog mindenesetre biztos: a végtelen az analízisben potenciális végtelen.

Kivéve, ha gondolunk a végtelen kicsiny és nagy számokra is, mert azok kétséget kizáróan aktuális végtelenek.

6) A cantori halmazelméletet gyakorta nevezik naiv halmazelméletnek, mivel benne a halmaz fogalma informális: azon intuíciónkra épül, hogy az azonos tulajdonságú dolgok valahogyan egy sokaságba rendezhetők. Valóban, valami efféle „rendezést” hajtunk végre, amikor például a Testnevelési Egyetem utóvizsgázó hallgatóiról beszélünk. Kicsit formálisabban, azt állítjuk tehát, hogy bármely p tulajdonságra, ha px és py, akkor van olyan A, hogy x,y ∈ A. Mint mindjárt látni fogjuk, tűnjék bármennyire is természetesnek ez a halmazfogalom, ellentmondásra vezet.

Nem, az amit mondasz, az az osztály fogalma, mely már Arisztotelésznél is megvolt és amellyel semmi baj nincs. A cantori halmazelmélet baja, hogy azt feltételezi, az osztályok egyben mind individuumok is. Ez okozza az ellentmondást. Erről beszélt Frege, amikor azt írta, úgy tűnik az osztályokra nem igaz a kizárt harmadik elve, azaz hogy vagy benne vannak egy osztályban, vagy nem.

Megjegyezzük, manapság olykor naiv halmazelméletként hivatkozunk olyan ellentmondásmentes megközelítésekre is, melyek egyetlen „bűne”, hogy nem axiomatizáltak, vagyis a ‘halmaz’ és az ‘eleme’ reláció fogalmát magától értetődőnek veszik.

Ha Paul Halmos könyvére gondolsz, akkor ott egy axiomatizált de nem formális halmazelméletről mondja, hogy "naiv halmazelmélet". Amiről beszélsz szerintem megint az osztálykalkulus.

7) A formalista azon állítása, hogy a teljes matematika jelentés nélküli szimbólumok önkényes szabályokon nyugvó manipulációja, a természetes számokra vonatkozó történeti megfontolások, valamint a neurológiai kutatások tükrében nehezen tartható ugyan, de az is kétséges, hogy valóban létezett-e olyan formalista, aki ennyire radikális álláspontra helyezkedett volna.

Mi más lenne a matematikus, mint formalista? Hogy milyen fogalmakból indulunk ki önkényes. Pl. A szimplektikus sokaság fogalmát a fizika Hamilton-Jacobi-egyenletei motiválják. Tehát matematikailak önkényes. Ezek után a matematikus már nem foglalkozik azzal, hogy pontosan milyen esetek valósulnak meg a fizikában, hanem működtet egy olyan algebrai kutatási programot, amit az ettől tökéletesen független témakörökben is szokott működtetni -- mondhatni ész nélkül.