Temporális Szóritész

A szóritész -(„kupac”-) paradoxon temporális változatának bemutatásához induljunk ki Danto nak azzal a russell-i hipotézissel kapcsolatos két megállapításából, miszerint a világ minden tartozékával együtt öt perccel ezelőtt jött létre.

Az egyik megállapítás szerint ha ezen öt perc helyett a világkezdet időpontjával „minél tovább megyünk vissza időben, annál kevesebb terhet ró a hipotézis a kauzális sémára, illetve a temporális szókincsre”. A másik, ezzel analóg megállapítás szerint „minél egyszerűbb a világ, és minél kevesebb temporális predikátumot igényel a leírása, annál kevesebb megrázkódtatást okoz a teljes épségében létrejött világ fogalma” - „és ha valaki azt mondja: tegyük föl, hogy a világ száz millió évvel ezelőtt jött létre, nemigen látunk kijelentésében olyasmit, ami miatt különösebben szkeptikusnak vagy filozófiai szempontból érdekesnek találnánk” (lásd jelen kiadásban: Temporális nyelv és szkepticizmus ).

A fentiek alapján fogalmazzunk meg két állítást: „az a hipotézis, mely szerint a világ öt perccel ezelőtt jött létre nagy terhet ró a kauzális sémára és a temporális szókincsre”, valamint „az a hipotézis, mely szerint a világ százmillió évvel ezelőtt jött létre, kevés megrázkódtatást okoz”. Jelöljük ezen állításokat P(5)-tel illetve Q(5,3*1013)-nal, annak megfelelően paraméterezve őket, hogy az első állítás öt percről, a második százmillió évről (kb. 5,3*1013 perc) szól. Feltételezésünk szerint mind P(5), mind Q(5,3*1013) „igaz”.

Tegyünk még meg egy kezdetben talán ártatlannak tűnő - Danto érvelésétől nem idegen - feltételezést: egy perc alatt csak kevéssé változik meg a temporális szókincskészletünk. Ha a helyett, hogy a világ öt perccel ezelőtt jött létre azt tételeznénk fel, hogy ez az örvendetes esemény hat perccel ezelőtt következett be, ez a változtatás nem befolyásolná a véleményünket arról, hogy a feltételezés nagy terhet ró a kauzális sémánkra vagy hogy nagy megrázkódtatást okoz. Igaz ugyan, hogy így már lennének öt és fél perces tojások és nem csak öt és fél percesnek tartott tojások, de ettől még a használt temporális predikátumaink túlnyomó többségének értelmezésbeli státusát illetően nem tapasztalnánk változást. Másszóval, ha igaznak tartjuk P(5)-öt, akkor igaznak tartjuk P(6)-ot is, általánosabban ha igaznak tartjuk P(t)-t akkor igaznak tartjuk P(t+1)-et is (és ugyanígy, ha igaznak tartjuk Q(t+1)-et akkor igaznak tartjuk Q(t)-t is). Egy tárgyalásunk szempontjából nem jelentős logikai csúsztatással ezt úgy fogalmazhatjuk át, hogy igaznak tartjuk a „ha P(t) akkor P(t+1)” (illetve a „ha Q(t+1) akkor Q(t)”) kondícionálisokat.

A klasszikus logika szabályai szerint ezen feltételekből - Danto szándékaival ellentétben - rögtön következik, hogy egyrészt nagy terhet ró a temporális szókincsünkre az a feltételezés, miszerint a világ százmillió évvel ezelőtt keletkezett, másrészt kevéssé megrázkódtató az a feltételezés, hogy a világ öt perce jött létre. Felírhatjuk ugyanis a következő premisszákat:

P(5)

P(5) –› P(6)

P(t) –›P(t+1)

P(5,3*1013-1) –› P(5,3*1013)

Hasonlóképpen:

Q(5,3*1013)

Q(5,3*1013) –› Q(5,3*1013-1)

Q(t+1) –› Q(t)

Q(6) –› Q(5)

Ezekből a premisszákból egyszerű modus ponens -ekkel juthatunk P(5,3*1013)-hez ill. Q(5)-höz.

Hasonló módon „bizonyíthatjuk be”, hogy bizonyos sebek sosem gyógyulnak be, vagy a névadó (nem temporális) példával élve azt, hogy egy árpaszemet is kupacnak kell tekintenünk (hiszen tízezer-egy árpaszem biztosan kupac, ha árpaszemek sokasága kupac, akkor az egyel kevesebb árpaszemet tartalmazó sokaság is az, és így ez utóbbi szabályt tízezerszer alkalmazva kiderül, hogy egy árpaszem is kupac) stb. A paradoxoncsalád már hosszú ideje ismert, ám arra a kérdésre, hogy a premisszák vagy az érvelés mely részét kellene elvetnünk a nyugtalanító konklúzió elkerüléséhez még nem született megnyugtató logikai válasz. (A választ talán nem is érdemes logikai téren keresnünk. Egy magyar nyelvű rövid áttekintéshez és a további irodalomhoz javaslom R. M. Sainsbury: Paradoxonok (TypoTeX, 2002) c. könyvét) Bár a szóritész változatos formákban bukkan fel - szembetűnő különbség például, hogy míg a kupacok esetében jóval kézenfekvőbb a „kupacságot” predikátumként használni a árpaszemsokaságokra mint tárgyszerű dolgokra, némi jóindulat szükséges a fenti két példabeli P-t és Q-t a hipotézis szempontjából érdekes időpontok predikátumaként való értelmezéséhez - a példák közös jellemzőjeként rá szokás mutatni, hogy az előforduló központi fogalom használatában határesetek bukkannak fel, mintha maga fogalom elmosódott határú vagy homályos lenne.

A feloldási kísérletek változatosak, értékréses logika bevetésétől kezdve egészen meghökkentő filozófiai konstrukciókig mindenfélével lehet találkozni - mi itt az igazság különböző fokozatait bevezető lehetőséggel foglalkozunk. E szerint egy állításhoz, jellemzendő annak igazságtartalmát (korántsem tisztázott módon) különböző számokat rendelhetünk - rendeljünk például egyet a biztosan igaz állításokhoz, nullát a biztosan hamisakhoz, a többiekhez pedig a kettő között valamilyen számot annak megfelelően, hogy „mennyire” tekinthetőek igaznak. A „biztosan igaz” és a „biztosan hamis” állításokra legyenek továbbra is érvényesek a klasszikus következtetési szabályok, míg a köztes igazságfokozatokkal rendelkezőkre (melyek alkalmasak lehetnek elmosódott határú predikátumaink és határeseteik viszonyának modellezésére) ezek analogonjait alkotjuk meg. A konkrét szabályok önkényesek, ám néhány, számunkra érdekes alapelvben meg lehet egyezni. Ilyen megegyezés lehet a „ha-akkor” típusú állítások esetében az, hogy ha egy, az elő- és utótagjában azonos predikátumokat tartalmazó állítás előtagja magasabb igazságfokozattal rendelkezik mint az utótag, akkor a kondícionális igazságfokozata egynél kisebb lesz (analóg módon a materiális kondícionális igazságszabályával, mely szerint egy kondícionális nem lehet úgy igaz, hogy előtagja igaz, utótagja viszont hamis). Az sem tűnik merész megkötésnek, hogy minél „kisebb” a különbség az elő- és utótag igazságfokozata között, a kondícionális igazságfokozata annál nagyobb lesz - az igazságfokozatok azonossága esetén a maximális igazságfokozatot is elérve.

Az igazságfokozatok bevezetését és a fenti szabályt elfogadva a szóritész már részben kezelhetőnek tűnik. Első példánkon szemléltetve legyen a P(5)-höz rendelt igazságfokozat 0.999, a P(6)-hoz rendelt pedig 0.998 (a P(t) állítás igazságfokozatát a továbbiakban jelöljük |P(t)|-vel). Mivel az előtag igazságfokozata nagyobb, mint az utótagé, így a P(5) –› P(6) igazságfokozata kisebb, mint egy - például 0.9999. Ha az igazságfokozatok közötti távolságnak be lehetne értelmes módon vezetni egy természetes mértékét, akkor azt mondhatnánk, hogy majdnem biztos a P(5) –› P(6) segítségével előálló következtetés - ám nem teljesen az. Éppen ezért új modus ponensünket alkalmazhatjuk ugyan, de nem túl „sokszor”, mert ez az igazság „elszivárgásához” vezethet. A szóritész paradoxonok e magyarázat szerint pontosan azért állnak elő, mert ezt a hibát követjük el.

Még ha el is tekintünk néhány közvetlenül adódó filozófiai és értelmezésbeli problémától - nem vitatjuk például, hogy a különböző P(t) állításokhoz ismeretlen módon hozzárendelt igazságfokozatok csökkenő sorozatának posztulálásával mennyiben kerüljük eleve meg a paradoxon által felvetett problémákat - számos érdekes továbbgondolási lehetőség adódik. Ezek közül bocsátunk néhányat kérdés formájában a kedves Olvasó szórakozására.

1., Gyakran vetik az értékréses logikát felhasználó megoldási javaslatok szemére - melyek kiindulópontja, hogy egy predikátum extenziója (azon objektumok összessége, amelyekre a predikátum igaz) és antiextenziója (azon objektumok összessége, melyekre a predikátum hamis) mellé felveszik a prenumbra fogalmát mint az objektumok („határesetek”) olyan összességéét, amelyekre az adott predikátum se nem igaz, se nem hamis -, hogy nehezen tudják kezelni az ún. másodrendű homályosság problémáját. A másodrendű homályosság a legutolsó olyan objektumra való rákérdezés során bukkan fel, amely még éppen a predikátum extenziójába tartozik, míg a rákövetkező objektum már a prenumbrába esik (az objektumok - példáinkban időpontok - közötti „rendezést” a paradoxon gondolatmenete értelemszerűen definiálja). A határ azon objektumok között, melyekre igaz a predikátum és azok között, amelyekre nem lesz sem igaz, sem hamis ugyanúgy nem húzható élesen meg, mint korábban azok között, amelyekre a predikátum igaz, és amelyekre hamis. Mit tudunk mondani az ilyen magasabbrendű homályosság felbukkanásáról az igazságfokozatok megkülönböztetésére támaszkodó feloldási kísérlet esetén?

2., Vizsgáljuk meg, milyen hatást gyakorolna az igazságfokozatokat alkalmazó feloldási kísérletre, ha feltételeznénk valamilyen minimális mértékű tökéletlenséget az igazságfokozatok megkülönböztésének képességénél. Míg a szóritész nem-temporális változatai esetén gyakran nincs lehetőség a paradoxon tárgyául szolgáló objektumokat tetszőlegesen továbbosztani (például az árpaszemeket sem lehet „árpaszemségük” megsértése nélkül továbbfelezni, hacsak nem akarunk belefutni egy árpaszemfelezési szóritészbe), addíg a temporális változat esetén nem látszik túlzottan problematikusnak azt feltételezés, hogy ha van két olyan időpontunk, melyekre a paradoxon kapcsán alkalmazott predikátum értelmes, akkor ezek között mindig találhatunk egy olyan harmadikat, amelyikre szintén az. A kényelem kedvéért tegyük még fel azt a szintén nem túlzó feltételt is, hogy a predikátumhoz tartozó igazságfokozat az időpont függvényeként folytonos.

A tökéletlenséget jellemezzük egy nullához közeli számmal, és tegyük fel, hogy ha két igazságfokozat különbsége ezen a számon belül esik, akkor a két igazságfokozatot nem tudjuk egymástól megkülönböztetni. A fenti feltételek mellett mit tudunk ekkor mondani a feloldási kísérletünk hatékonyságáról? Változik-e a helyzet, ha a tökéletlenség az igazságfokozat helyett az időpontok megkülönböztetésének képességére vonatkozik?

A probléma abból fakad, hogy az adott feltételek mellett a következtetési lánc megfelelő elnyújtásával mindig visszacsempészhetjük a szóritészt. Megoldást jelenthet-e a tökéletlenség feltételezése mellett, ha csak a különböző igazságfokozattal rendelkező elő- és utótagokból álló kondícionálisokat tekintjük a következtetés szempontjából legitimeknek?

3., Az előző ponthoz hasonlóan tegyük fel, hogy a P(t) predikátum minden t időpontban értelmes, |P(t)| monoton folytonos függvénye t-nek, |P(0)|=1, és a hipotézis időpontját egyre korábbra téve a predikátum igazságfokozata tart a nullához. Ekkor gondolhatunk |P(t)|-re eloszlásfüggvényként is. Milyen tartalmat tulajdoníthatunk a hozzá tartozó sűrűségfüggvénynek? Lehet ennek a sűrűségfüggvénynek a segítségével valamilyen értelemben természetes módon definiálni a kondícionális igazságszabályát? Milyen tulajdonságokkal fog a kondícionális így rendelkezni? Megmarad a magasabbrendű homályosság problémája, ha feltesszük még azt is, hogy |P(t)| szigorúan monoton?

Creative Commons License