folytonos - diszkrét

Először Hofstadter klasszikusában (Gödel, Escher, Bach) olvastam az analízis olyan módon történő megközelítéséről, ahol az infinitezimálisok - műveletvégzésre alkalmas - matematikai objektumokként történő kezelése esetén bármely konzisztens modellben megjelenik egy, a kvantummechanikai határozatlansági elvhez kísértetiesen hasonló kiszámíthatósági korlát.
(Két infinitezimálisnak vagy az összege vagy a szorzata számítható ki tetszőleges pontossággal... Vagy valami hasonló.)

Kérdés, hogy ez szolgál-e bármiféle többlet-információval az általunk tapasztalható világ megértéséhez?

(Bocs', hogy eltűntem és csak most válaszolok...)

Diszkrét-determinisztikus világra adott - számomra meggyőző - példát Fredkin, Végső Sejt Automatájával.

Elolvastam a Zenóntól Einsteinig. (mit szólnál a Zénóntól Albert Einsteinig, azaz Z.-től A.-ig metaforikus címhez, az A és B pontokat is átnevezve Z és A pontokra...? :)Figyelembe véve, hogy ez nem matematikai szigorúságú - inkább matematikai jellegű - érvelés, lényegét tekintve (valószínűségi eloszlás segítségével jól szimulálható egy abszolút diszkrét világban tapasztalható folytonosság) elfogadható.
Azzal azonban már nem értek egyet, hogy CSAK az "objektív" véletlen becsempészésével szabadulhatunk a folytonosból fakadó, nyomasztó infinitezimálisoktól.
Engedj meg néhány megjegyzést:
1. A topológikus terek - melyek a legáltalánosabb, de már jól meghatározott struktúrával rendelkező halmazok - alaptulajdonsága a környezet, amely nem más, mint a halmaz minden eleméhez hozzárendelt valamely részhalmaz, tehát közönséges reláció.
A Z->A egy meglehetősen speciális, bár a mindennapi tapasztalatokkal egyező, topológikus struktúrát tárgyal. Az elméleti fizikai kutatások viszont számomra azt a fejlődési utat követik, amely szerint a (speciális téridőstruktúra + egyszerű matematikai apparátus) modelltől az (általános téridőstruktúra + bonyolult matematikai apparátus) felé tartanak.
Így, noha a mindennapi tapasztalatok nem hagyhatók figyelmen kívül, valójában nincs okunk azt feltételezni, hogy pl. a környezet reláció képhalmaza véges, vagy hogy két pont között a legrövidebb út egyértelmű, vagy esetleg az (s+t) dimenziószám (3+1)-től eltérő értékeket vehet fel...stb.
2. Kris tanulmányát egyenlőre csak átfutni volt időm, de metafizikai érvelése a folytonos esetre vonatkozik, csupán a végén jegyzi meg: "Azonban diszkrét terű világokban, úgy tűnik természetes összefüggés van a pontok közötti távolság és a közöttük lévő pontok száma között...", amit talán túlzás a diszkrét-determinisztikus modellel kapcsolatos problémaként hivatkozni...
3. Anélkül, hogy az empirizmus részleteibe merülnénk, érdemes meggondolni, hogy egy diszkrét-determinisztikus világ milyen korlátokkal sújtja a részeként létezőt - tapasztalatilag. Ha jól emlékszem (hónapokkal ezelőtt olvasva, lehet, hogy már megint írok, ahelyett, hogy utánanéznék, bocs'...) Fredkin éppen arra alapozta a Végső Sejt Automatára vonatkozó meglepő megállapítását - miszerint az automata paraméterei (állapotok, állapotátmeneti függvény, ...stb.) irrelevánsak a működés általunk tapasztalható következményeit illetően -, hogy ilyen korlátok nemcsak lehetnek, de voltaképpen elkerülhetetlenek...

Végül pillanatnyilag azt hiszem a negyedik variáció, a sztochasztikus-folytonos világ, a legnagyobb szabadsági fokkal rendelkezve érdektelenné válik a másik hárommal szemben, abban a - talán túl szubjektív -értelemben, hogy bár tapasztalatilag ez a releváns, de éppen arra vagyunk kíváncsiak, hogy mely szabadsági fokok megvonása gördít akadályt a tapasztaltak modellezésének útjába...

Szerintem igazad van, mind a négy verzió értelmes és lehetséges. A folytonos-pontos (=determinisztikus) világ a klasszikus fizika és a relativitáselmélet világa. Itt a tér és idő adatokat valós számok reprezentálják, egy tömegpont leírása pedig egy függvény, amelynek az értékei egyértelmű (azaz determinisztikus, pontos) tér adatok. Itt egy másik vitában valaki megjegyezte, hogy ha egy pontnak egyszerre több helye van, azaz nincs egyértelmű helye, akkor ez logikai ellentmondás. Nem az, mert nincs olyan logikai axióma amelyik a fizikai jellemzőkről szól. A hely lehet többértelmű valószínűségi jellemző is, és ehhez nem kell elvessük a klasszikus logika kétértékűségét. Épp ilyen a diszkrét-valószínűségi világ, amely a mikrofizika gondolkozásmódja (már amennyire én képes vagyok ezt megérteni). A folytonos - valószínűségi világra a tér-idő nézőpontjából nem tudok példát mondani. Viszont, hogy egy diszkrét - determinisztikus (pontos, egyértelmű tér jellemzőkkel rendelkező) világ milyen nehézségeket okoz, azzal kapcsolatban itt van egy link: http://web.syr.edu/~krmcdani/dd.pdf
Sajnos egy ponton túl nem értem az érvelést, de biztos bennem van a hiba. Jómagam is látok gondokat a diszkrét-determinisztikus verzióval kapcsolatban amit itt fogalmaztam meg. http://ferenc.andrasek.hu/doc/zrel_hun.doc
A valószínűségi - diszkrét verzió azért fontos, mert úgy tűnik ilyen a világ (ez a mikrofizika szemléletmódja), ugyanakkor alátámaszthatja a relativitáselmélet szemléletmódját is. Utóbbihoz valamiképp összhangba kellene hozni a folytonos tér-idő tulajdonságaival, mint ezekre a cikkemben megpróbáltam rámutatni. Amit a Cauchy sorozatról írsz, az sajnos az én gondolatmenetemet is cáfolja, de azért érdekelne a véleményed a cikkemről.
Üdv. Ferenc

Nekem úgy tűnik a folytonos/diszkrét és a pontos/valószínűségi ellentétekkel jellemezhető szemléletpár (?) megfelelő ortogonalitással rendelkezik ahhoz, hogy kettő helyett akár mind a négy kombináció metafizikai alapot szolgáltasson (akármihezis). De lehet, hogy tévedek. Mi szól a pontos-folytonos és valószínűségi-diszkrét változatok kiemelése és a másik kettő hanyagolása mellett...? - gondoltam mielőtt elolvastam a hivatkozott forrásokat.

A véletlen (és ezáltal a valószínűség) információ-hiányként való értelmezése azt sugallja, hogy (fizikai) ismereteink tetszőleges (de nem végtelen) pontosságú finomítása kiiktathatatlanná teszi a mindenkori elmélet határozatlansági relációit. Ebben az esetben úgy vélem a Cauchy-sorozat (Cs) jellegű mérések sem adnak pontos határértéket. Pontosabban fogalmazva talán még Cs-mérések elvégzésére sincs lehetőségünk, mert a mindig jelenlévő bizonytalanság nemcsak a mért sorozat értékeit, hanem (épp ezért) a határértéket is elkeni.

Köszi a reagálást, örülök hogy valakit érdekel ez a kérdés. Sajnos hiányos matematikai műveltségem következtében nem minden értek a válaszodból, pedig lehet hogy megadtad a választ. A mérések Cauchy féle sorozatáról többet is mondhatnál. Talán nem fogalmaztam meg elég jól a problémát, megpróbálom újra. (Ha világosan meg tudnám fogalmazni, akkor talán meg is tudnám válaszolni.) Az a kérdés érdekel, hogy miképpen lehetne egymásnak kölcsönösen egyértelműen megfeleltetni egy folytonos vonal mentés haladó determinisztikus mozgás leírását és egy egész számok sorozatából álló pont-vonalon történő mozgás leírását? Előbbi legyen ez egyszerűség kedvéért egyenes vonalú egyenletes mozgás, melyet egy s=v*t formulával írhatunk le, ahol 's' a hely, 'v' a sebesség és 't' az idő jellemzőknek megfelelő számértékeket jelöli. (Ha jobban tetszik, a pont helyét egy s(t) függvény adja meg melynek az első deriváltja a pont sebesség függvénye.) Ezek a számok ebben az esetben valós számok. Ebben a folytonos esetben a pont minden időpontban egy és csak egy helyen van. A folytonosságból következően nincs olyan, hogy a pont s1 helyét követő következő s2 helye, és az időpontoknál sincs következő vagy megelőző időpont. Más a helyzet a diszkrét világban. Ekkor diszkrét időpontokban - ütemekben - és diszkrét helyekben gondolkozunk. A pont helyét egy számsorozattal írhatjuk le, és a diszkrét idő is egyszerűen egész számok rendezett sorozata, ahol bármely t ütemhez adott a következő t+1 ütem. A diszkrét, azaz digitális-valószínűségi világban viszont (az én felfogásomban) a pont helye nem egyértelmű, hanem valószínűségi függvénnyel adott. Csak annyit mondhatunk, hogy a pont p1 valószínűséggel itt van, p2 valószínűséggel amott van stb. és p1+p2+ … +pn valószínűségek összege 1. Azt hiszem ebben az esetben egyértelmű időpontokról sem beszélhetünk, hanem csak időpont-valószínűség eloszlás értekről. Tehát ebben a valószínűségi világban a pont helyét időadatot és hely adatot jellemző valószínűség eloszlás párok határozzák meg. Képes beszéddel mondva a digitális világban a véletlenben lévő információmennyiség pótolja az irracionális számokban lévő információ többletet, melyekről annyit én is tudok, hogy némelyik algebrai, némelyik nem, némelyik Turing kiszámítható, némelyik nem. Mások nálam jobban megfogalmazták ezt a problémakört, nem pont azt amit én kérdezek, de valami nagyon hasonlót: www.szt.bme.hu/Munkatrs/domokos/cikk_archiv/95/final/95.pdf
www.kfki.hu/chemonet/TermVil/tv2002/tv0209/domokos.html
www.kfki.hu/chemonet/TermVil/tv2002/tv0210/domokos.html
www.digitalphilosophy.org/new_cosmogony.htm
www.digitalphilosophy.org/finite_nature.htm
Üdv. F.

Ahhoz, hogy el lehessen kezdeni gondolkodni a kérdésen nem ártana tisztázni, hogy milyen számokról is beszélünk. Irracionális számnak azokat a valós számokat nevezzük, amelyek nem állnak elő két szám hányadosaként (ilyen pl. a gyökkettő). A pi/19 ezen felül transzcendens is, azaz nem gyöke egyetlen racionális polinomnak sem. A nem transzcendens számokat algebrai számoknak nevezzük.
Mivel algebrai számból könnyen láthatóan megszámlálható sok van, a transzcendens számok számossága pedig kontinuum, ezért az algebrai (hát még a racionális) számok nagyon riták, például 0 a valószínűsége, hogy egy adott pillanatban a mozgó pont ne transzcendens (racionális) számon álljon.
Van azonban a racionális számoknak egy érdekes topológiai tulajdonsága, jelesül, hogy az ilyen számok sűrűn fordulnak elő a valós számok között, azaz minden valós számhoz található racionális számok egy végtelen sorozata, amelynek tagjai egy idő után akármilyen kis távolságnál közelebb lesznek az adott számhoz.
Azaz, ha végtelen valószínűségen 1 valószínűséget értesz (ennél nagyobb valószínűség nem létezik, ez a biztos események valszínűsége is), akkor bizony a válasz az, hogy a pont 1 valószínűséggel egy transzcendentális koordinátán helyezkedik el, amelyet mérések egy ún. Cauchy-sorozatával (azaz olyan végtelen sok méréssel, amelyek közül egy adott távolságnál csak véges sok lesz egymástól távolabb) akármennyire meg lehet közelíteni.
A matematika nyelvén: konvergens mérések sorozata 1 valószínűséggel egy transzcendens számhoz konvergál, ami 1 valószínűséggel azonos a pont helyzetével.
A fentiekhez "csupán" a topológia és a valószínűségszámítás jól ismert feltevéseit kell elfogadnunk a valós számok illetve a mérések természetéről.