Naturalizmus a matematikában

Összefoglalóan: jó könyv, olvasmányos, nem túl drága ($20), izgalmas szexjelenetek, ajánlott, de világmegváltást ne várjunk tőle – Kornai András recenziója Penelope Maddy könyvéről.

(Penelope Maddy: Naturalism in Mathematics, Oxford University Press, 1997.)

Még 1988-ban került a kezembe a könyvtárban Penelope Maddy „Believing the Axioms” című cikke[1], amivel a szerző teljesen belopta magát a szívembe: végre egy matematikafilozófiai írás, amely fontos kérdéssel foglalkozik. Maddyt az érdekelte, hogy miért hiszünk a matematikai állításokban annyira, hogy még a nekik ellentmondó empirikus bizonyítékokkal sem törődünk. Mostani könyvében Ayert idézi ("The a priori", 1946):

Könnyen megeshet, hogy amikor megszámolok valamiket, amelyekről azt gondoltam, hogy öt pár, csak kilencet számolok össze … de … ennek alapján senki sem mondaná, hogy megcáfoltuk a „2x5=10” matematikai állítást. Mindenki inkább arra gondol, hogy téves volt az a feltevésem, hogy öt pár volt eredetileg, vagy hogy valaki elvitte az egyik dolgot számolás közben, vagy hogy két dolog egybeolvadt, vagy hogy rosszul számoltam. Elfogadható minden olyan magyarázat, amely összeegyeztethető az ismert tényekkel, de semmilyen körülmények között nem fogadjuk el azt a magyarázatot, hogy kétszer öt nem mindig tíz.

Már a régi görögöknél is találjuk a matematikai ideák feljebbvaló voltáról szóló állítást. Maguk a matematikusok némileg hamiskás naivitással többnyire csak annyit állítanak, hogy a matematikai igazságok feltételes jellegűek: HA bizonyos axiómák igazak, AKKOR bizonyos tételek is azok. De ha a tételek igazságtartalma az axiómák igazságtartalmából származik, akkor ezek igaz volta még inkább fókuszba kerül: az axiómákat miért kell/érdemes elhinni? Maddy most már lassan 15 éve foglalkozik ezzel a kérdéssel, először mint diák, aztán mind adjunktus, mára már a logika és a tudományfilozófia professzora a University of California Irvine-ban. Az előző könyve (Realism in Mathematics, 1990) még csak a JSL-cikk kibővített változata volt, és most már neki sem tetszik (azért írta meg, nagyon tisztességes módon, az új könyvet), de már az is jó irányba tapogatózott: az axiómák hihetősége nem ott a legizgalmasabb kérdés, ahol valami kanti szemléletre támaszkodhatunk (geometria, aritmetika), hanem például a modern halmazelméletben. Miért is kell a mérhető számosságok valamely axiómáját (vagy annak a tagadását) elhinni?

A könyv első része (1–86. oldal) nagyon jól, kifejezetten informatívan, logikusan, filozófiai és egyéb előítéletektől mentesen tárgyalja a halmazelmélet és a matematika alapjainak fejlődését. Ezt mindenki haszonnal forgathatja, lehet, hogy a kifejezetten erre a kérdésre szakosodó tudománytörténésznek nem sok újat mond, de az átlag matematikus (akinek a tudománytörténeti ismeretei, valljuk be, hiányosak, Cantort nem olvasta eredetiben, és nem tudja, hol volt hibás König eredeti bizonyítása, hogy a kontinuum-hipotézis hamis, és hogy találta meg a hibát másnap Zermelo) számára igen. A tárgyalásmód nem túl precíz, de szabatos, a hivatkozások elég részletesek ahhoz, hogy mindennek utána lehessen menni, szóval ez jó.

A második rész (87–160. oldal), ahol a régebbi változatokat még átlengő platóni realizmust tárgyalja, már nem ilyen jó. Itt is vannak szép részek, ahogy Quine letépi Carnap hullámzó kebléről az empirizmus selymes leplét, Einstein és Perrin vállvetve hozzák az atomot mint nem holmi absztrakciót, hanem direkt fizikai objektumot, de nem részletezem, mindenki olvassa el maga. Viszonylag rendesen le van írva a realizmus, platonista és kevésbe platonista változatokban, de valahogy nincs mögötte az a szinte fizikai érzés, propriocepció, ami az intuicionizmust meghajtja, és ettől a dolog kicsit üres. Egyáltalán nem látszik, hogy Quine, aki Gödellel kb. egyforma (ha nem több) teret kap, miért olyan marha fontos ebben az egészben, eltekintve attól, hogy a filozófusok között jelentős lantverő.

A harmadik részben (161–233. oldal) kerül kifejtésre a Maddy által proponált naturalista tézis, mely szerint a filozófiai gondolkodásnak alá kell rendelnie magát a matematikai praxisnak. Ha ugyanis nem ezt tesszük, hanem normatív filozófiai álláspontról indulunk, akkor egy olyan axiómát kell elfogadnunk (Maddy jelölésében: V=L), amely szerint csak konstruktív objektumok vannak, és ez matematikailag terméketlen. Bár ezt a logikát mint matematikus hízelgőnek találom, azért nem szép, hogy Maddy meg sem említi, hogy ezt a "naturalista" bulit nem ő találta ki, hanem Feyerabend még 1975-ben, aki leírja, hogy a tudományfilozófia "pales into insignificance in the face of actual research" (idézet fejből, megközelítőleg, de a lényeg stimmel). Ez akkor történt Feyerabenddel, amikor a kvantummechanikával foglalkozók némileg beengedték maguk közé egy-két konferenciára és vették a fáradtságot, hogy elmagyarázzák neki, mit is kutatnak ők. Lényegében Maddyt is ilyenfajta hatások érték: a halmazelmélészek leülnek vele és elmagyarázzák neki az új eredményeket. Ettől ő okosabb, filozófiája árnyaltabb, és könyvei jobbak lesznek, az olvasó örül.

Viszont baj az, hogy kifejezetten a kemény halmazelmélészekkel ül csak le, és ettől a matematika alapjairól bájosan avítt nézetei vannak. Egy-két bekezdést (tényleg az egész könyvben nem többet) kap MacLane, "a prominent contemporary critic of set theoretic foundations", de Maddy igazából nem érti, hogy miről van szó, mit is csinálnak MacLane (aki a kategóriaelmélet egyik alapító atyja) és a nyomában járó toposzelmélészek a matematika alapjaival, és nem is érdekli. Ez azért nagy baj, mert a halmazelmélet már lassan ötven éve megszűnt a matematika megalapozása számára fontosnak lenni, valamikor Brouwer, Heyting, Tarski, és a klasszikus metamatematika kialakulása idején, és nem kétséges, hogy ezt a fáklyát a kategóriaelmélet viszi tovább. Van abban valami bosszantó, hogy kifejezetten leíró halmazelméleti kérdések is tudnak számossági axiómákon állni vagy bukni: az ilyen tételekből a legtöbb matematikus azt a következtetést vonja le, hogy ha ezen múlik, akkor a dolog (mondjuk a projektív halmazok mérhetősége) nem is olyan érdekes. A könyvnek nagyon jót tenne, ha a szerzővel mondjuk Shelah vagy Friedman (akik maguk is elég sok ilyen randa tételt csináltak) és általában az algebraibb gondolkodásúak is leülnének beszélgetni, mert ahogy most fest a könyv, abból már a klasszikus metamatematika is hiányzik, pedig anélkül, kérem, nem lehet naturalistának lenni.

Külön kár, hogy a matematika korszerű megalapozásának főcsapása, Solomon Feferman és az egész reverz matematika tulajdonképpen kimarad, pedig Maddy (és beszélgetőpartnerei) is ebben a csónakban eveznek. Engem személyesen még ennél is jobban bosszant, hogy a szerző lelkiismeretesen megpróbálja elmagyarázni a modern halmazelmélet egyes finomságait (ez nem mindig sikerül, különösen az utolsó két-három fejezet nincs jól megírva mint tudomány-népszerűsítés), de az eszébe sem jut, hogy az egész Einsten-féle Brown-mozgás elméletet, amiről hosszan beszél, ugyanígy népszerűsítse, még a képletet se adja meg, pedig az (a) fontos, (b) érdekes, (c) hasznos, (d) témába vág, (e) előremutató. Hallunk egyet s mást a fizikusok tér- és időfelfogásáról (különösen a Feynmann-előadások hatása érezhető), de nekem valahogy nem szimpi az a filozófián sokszorosan átszűrt mód, ahogy Maddy a fizikát kezeli. A matematikus falra mászik attól, ahogy Einstein (és előtte már Stokes és Bolzmann, akinek a vállain áll) a dolgokat levezeti, dehát kijön, basszameg, kijön. A naturalistának pedig kifejezetten érdemes lenne ilyesmivel foglalkozni, de manapság ezt igazából csak de Bruijn teszi, és ő is csak matekra korlátozottan, pedig a fizika kínálja az igazi ínyencségeket, mai ajánlatom a Stokes-törvény Landau-Lifsic féle-tárgyalása (Hidrodinamika kötet, 20. paragrafus), na ezt reverzálja, aki meri.

Összefoglalóan: jó könyv, olvasmányos, nem túl drága ($20), izgalmas szexjelenetek, ajánlott, de világmegváltást ne várjunk tőle.

[1] Journal of Symbolic Logic, vol. 53. pp. 481–511 és 736–764.