Calculus infinitesimalis

Mégis csak csodálatos a differenciálszámítás hatékonysága. És most nem arról a hatékonyságról beszélek, amit a fizikai alkalmazásokban tapasztalunk, hanem magán a matematikán belüli hatékonyságáról. Ami algebrailag, vagy elemi úton meg nem tehető, azt az analízis egy csapásra elintézi. Descartes a függvénygörbékhez húzott érintő meghatározásának problémáját még az algebra módszereivel oldotta meg. Az érintőt – mint mindig – úgy definiálta, mint azt a határhelyzetet, amit a görbét szelő egyenes felvesz, midőn a szelő két metszéspontja egybeesik. A számítás ekkor egy n-edfokú egyenlethez vezet, melynek két egybeeső gyökét kell keressük. A megoldást valamiféle diszkrimináns nulla voltából kell meghatároznunk (pl.: másodfokúnál a jól ismert gyök alatti kifejezés: b^2-4ac az, ami nulla).

Később Fermat már felfedezte azt a módszert, amit később Newton és Leibniz fejlesztett tovább, ti. a differenciálhányados módszerét. Beke Manó írta le 1903-ban azt a mondatot, hogy „Fermat már természetesebben, egyenesebben ment neki a problémának”. De vajon mennyire természetes olyan mennyiségeket (számokat?) a számításba vinni, melyek egy ideig biztosan nem nulla értékűek, majd amikor már velük nem kell osztani hirtelen nullává válnak? A komplex számokhoz hasonlóan újfajta számokat kellett megalkotni a differenciálkalkulus számára, a végtelen kicsiny mennyiségeket. Persze ezek létezésének feltételezése nem kötelező. Weierstrass és Dedekind végigvitte az analízis aritmetizálását és bemutatott egy olyan felépítést, amelyekben nem szerepel a végtelen kicsiny fogalma. De vajon Fermatnak eszébe juthatott volna-e, a biztonságos aritmetika felől közelítve a differenciálhatóság weierstrassi definíciója, mely kb. ilyen szerkezetű: „minden izére és bigyóra létezik olyan hogy-is-hívják, hogy azon valamicskékre, melyek ilyenek-és-ilyenek teljesül, hogy emilyenek-és-amolyanok”? (Ezek az ún. „epszilon-delta” definíciók, az epszilonok és delták lennének az előbbi izék meg bigyók.) Ennél azért természetesebb azt mondani, hogy „az y végtelen kis megváltozásának és az x végtelen kis megváltozásának hányadosa véges szám” dy/dx = differenciálhányados. Az epszilon-deltázók lelkesedését aztán letörhette, hogy a XX. század közepén a halmazelmélészek előálltak olyan halmazelméleti objektumokkal, melyek a végtelen kicsiny mennyiségek szerepét játszhatják. Lényegében bebizonyosodott, hogy léteznek végtelen kis mennyiségek.

Ellenérv lehet a végtelen kis mennyiségek intuitív voltával szemben, ha azt mondjuk, ezek nem jelölhetők ki a számegyenesen, vagy nem férnek el rajta. Igaz, nem jelölhetők ki, hiszen 0 hosszúságokat kellene felmérni a számegyenesre, ám helyüknek kell lenniük. Az is bebizonyosodott ugyanis, hogy a végtelen kis mennyiségből minden valós szám körül egy egész számegyenesnyi, más néven kontinuum számosságnyi van. És a halmazelméletben tétel, hogy kontinuum sok kontinuum számosságú halmaz uniója kontinuum számosságú, így ha a normális valós számok elférnek a számegyenesen, akkor ezeknek is el kell férniük. Valójában ugyanis halvány fogalmunk sincs arról, hogy a számegyenes mennyire van kitölve számmal. (Igaziból tehát másodrendűen, harmadrendűen, ... kontinuum számosságúad rendűen sok végtelen piciny mennyiség is elfér a számegyenesen!)

Mindez lenyűgöző és romantikus. Sőt, kicsit „gáz” is, olyan Fókuszos. Valaki a XVII. században felfedezi az érzékeken túli számokat, melyek aztán feledésbe merülnek. Akkoriban még voltak boszorkányok, farkasemberek és az alkímiai is működött – hiszen Newton is azt csinálta. Borzongató érzés megsárgult oldalakon dx-eket és dz-ket bogarászni, és tudatában lenni annak, hogy a módszer garantált, működik, jó eredmény fog kijönni belőle, még ha kuruzslás (vagy ahogy Egmont Colerus írja: „kabala”) az egész. Hogy mi ez a misztikus világ, a számok eme párhuzamos univerzuma, ami ekkor körülvesz minket, tulajdonképpen egyszerű. A Skolem-paradoxon a válasz rá – ahogy azt a modellelmélet állítja. A halmazelméletnek sem, és a valós számok elméletének sincs szándékolt modellje. Sok-sok modell van és azok bizonyos speciális, „önmagukra vonatkozó” kérdésekre más és más választ tudnak adni. Így lehetnek a sztenderd valós számok és a nemsztenderd valós számok önmagukban mind „normális” valós számok, összevetve őket azonban úgy viszonyulnak egymáshoz – ahogy Leibniz írja –, mint „a mennybolt a földhöz”, vagy mint a „föld a porszemhez”, vagy mint „a porszem az üvegen is keresztülhatoló magnetikus részecskéhez”.