Kockák

Egy - igaz, talán gyengécskének tűnő - érvet azért megpróbálok felhozni a "rendezett páros modell" mellett. Ez az, hogy a kockát nem érdekli, egyszerre dobod-e fel őket vagy sem. Nyilvánvaló - illetve nem is nyilvánvaló, de a józan ésszel töprengve belátható: a kocka nem emlékező rendszer. Ha először a "pirosra festett" kockát dobod fel, lejegyzed az eredményt, majd a "kékre festett" kockát dobod fel, és jegyzed az eredményt, akkor így cselekedve egészen világos, hogy a kockák mint objektumok, megkülönböztethetőnek számítanak, és P kocka hatból egyféleképp lehet hatos, majd minden eredmény mellett a K kocka is hatféle eredményt adhat. Összesen tehát egy kedvező esemény van P-re, meg egy kedvező esemény K-ra, és összesen 36 esemény. A valószínűség tehát 1/36. Na mármost, ha egyszerre dobod fel a kockákat, akkor sincs semmi változás az előző szituációhoz képest, mivel a közönséges kockák nem "emlékező rendszerek", tehát képtelenek megjegyezni, egyszerre dobod-e fel őket vagy előbb az egyiket, aztán a másikat (bár lehet, hogy az idő haladtával lesznek a boltban kapható intelligens dobókockák is :-). Sőt, ennek feltételezése vezetne a józan ésszel ellentétes magyarázatokra, hiszen ha feltesszük, hogy a kockák, akkor meg kellene magyarázni, hogy hogyan képesek erre.

Ez tulajdonképp a "függetlenség" fogalmának elmagyarázása, a függetlenség matematikai definíciójának felhasználása (azaz ördögi kör) nélkül.

(bár az az igazság, én bele tudnék kötni ebbe is, azt hiszem. Például: honnan tudjuk, hogy a kocka tényleg nem emlékező rendszer? :-))

U. i. Zolinak igaza van abban: a feladat pongyola. Én pl. rögtön úgy tenném fel a kérdést, hogy "klasszikus dobókockákat" (vagyis ideális, szakszóval szimmetrikus dobókockákat) dobunk fel. A "klasszikus" fogalmában ugyanis benne van, hogy 1) hatoldalú 2) azonos valószínűséggel esik bármely oldalára. Felhívom a figyelmeteket, hogy az eredeti feladatban ez sincs benne(!). Gondolom, ezt Zoli azért nem kérte számon rajtatok, mert nem ez érdekelte, én viszont, ha főiskolai vizsgáztató lennék (mint ahogy nem vagyok), holtbiztos, hogy megkérdezném a vizsgázót, hogy honnan tudja, 1/6 a hatosdobás esélye (egyébként "a nem-szimmetrikus pénzérmék viselkedése" tananyag az eltén mattan/matematikus szakon, úgyhogy még azt sem lehet mondani, hogy erőltetett, tudománytól és józan észtől elrugaszkodottak e kérdések. Sőt: inkább úgy tudjuk, a szimmetria afféle idealizáció, amely épphogy nem pontosan, csak közelítőleg írja le a konkrét kockákat).

Matematikatanárok (jómagam) számára az a fő tanulság mindebből, hogy az iskolában oktatott valószínűségszámítás nem "tiszta" matematika, hanem keményen empirikus tudomány, azaz természettudomány. Ami teljesen más jellegzetességekkel bír, mint amit az egyetemen oktatnak "valószínűségszámítás" címén. Ezért nagyon vigyázni kell, molyen alapokra fektetjük a tárgy oktatását. Mielőtt ilyen feladatokat kitűzünk, valóban fontos valamilyen formában megtárgyalni bizonyos dolgokat, pl. hogy a két kocka "megkülönböztethetetően" viselkedik.

Az is nagyon fontos tanulság - amit Zoli igen figyelemreméltó elektronos példája mutat -, hogy a kockás feladatból könnyen szűrhetünk le hamis didaktikai elveket, pl. a konkrét példából való általánosítás elvét (itt eszembe jut Einstein állítólagos mondata a józan észről, mint belénknevelt előítéletek halmazáról). Nevezetesen, hogy a kockás modellből (már ha ragaszkodunk a rendezett párokként való számításhoz) való absztrakció általánosan alkalmazható az élet, ill. kultúra minden területén. Világos, hogy nem: a kvantummechanika területén pl. a "hagyományos" kockamodell alkalmazhatatlan.

100milliószor dobtam fel véletlenszerűen C programommal 2 kockát. (a véletlenszerűség biztosítása érdekébe másodpercenként más paraméterrel számolt a gép) (srand meg time.h)

100.000.000 eset
2.777.525 duplahatos esett

Ez 0,027.775.25

1/36 meg 0,027.777.77

Egészre kerekítve a 253-mal kevesebb 6-os feldobás esett 100 millió esetből mint amennyit a matematika ad.
De ez elnézhető a nagy számok törvényének 100millióra való kerekítése miatt.

Asszem ha mindennemű hipermodern matematikai felfogástól eltekintünk és nem jövünk a doktoranduszi szinten tanult kutatómatematikus képzelgésekkel, hanem a 2 lábbal a földön járunk és elméleti síkon vizsgáljuk a dolgot, akkor igenis 1/36-od eséllyel lesz 2 kocka 6-os, ha végtelenszer feldobjuk.

Még két futás eredményében volt h több duplahatos volt, és volt h közel ugyanannyi mint amennyit a matek mond.

Idézet Warren Weaver, Szerencse kisasszony című könyvéből:

Dobjunk két érmével. Mi a valószínűsége, hogy legalább az egyik fej lesz? Ez most már nem nehéz, és a válasz 3/4. Elárulom, hogy d'Alembert a 18. század egyik kitűnő matematikusa a 2/3-ot vélte helyes válasznak. Bizonyára nem fogta fel igazán, amit mi már jól tudunk, mennyire fontos az összes egyformán valószínű kimenetel számbavétele. (123. o.)

Úgy látszik nem kerültem rossz társaságba :) A probléma itt is ugyanaz, és itt is inkább a 3/4-et tekinteném igaznak, mert ezt tartom valószínűbbnek, de csak valószínűbbenek és nem bizonyosnak.

Zalán próbálod diszkvalifikálni a megoldásomat azzal, hogy a Caesaros indok szintjére helyezed. Én azonban látok különbséget aközött, hogy

"egy úrnában 10 fehér és 20 fekete golyó, milyen valószínűséggel húzunk fehéret; 1/2, mert vagy fehéret húzunk, vagy nem" és aközött, hogy

"az elemi kimenetelek száma 21 (jó számítás), nem tudjuk a valószínűségi eloszlást (ez esetleg vitatható), tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy egyenletes (ésszerű feltevés), ekkor a kedvező per összes szerint 1/21"

Az utóbbiban csak az az egyetlen kérdéses pont, hogy döntehetünk-e úgy, hogy nem tudjuk az eloszlást és a tudományban elfogadott módon dönthetek-e úgy, hogy a legegyszerűbb kitüntetett diszkrét eloszlást választjuk (mint amikor afizikusok minden folyamatot először lineáris folyamatként kezelnek). Aztán az már lehet hipotézisvizsgálat tárgya, hogy igaz-e ez a feltevés, de ehhez adatok kellenek.

hallasz két különböző érvet - modellt, és választanod kell a kettő között.

Két modellt hallok, de érvet nem! Még mindig nem érveltél amellett, hogy a rendezett párok az elemi események és ezek lesznek 1/36 valószínűségűek. A függetlenségre hivatkozni azért nem érv, mert az cirkulusz viciózusz lenne. A és B függetlenek definíció szerint, ha P(A)P(B)=P(AB). Ezzel azt mondod, hogy azért számolható (1/6)(1/6)-dal a valószínűség, mert (1/6)(1/6)-dal számolható.

Kétféleképpen menthető a feladat:

1. Elismerjük, hogy csak kísérletileg igazolható: a kísérletek azt mutatják, hogy a két kockadobás független egymástól.
2. Átfogalmazzuk tisztán matematikaivá: elemi események az {1,2,3,4,5,6} legefeljebb kételemű, de legalább egyelemű részhalmazai, az eloszlás: a kételemű halmazokra 2/36-od, az egyeleműekre 1/36-od. Mennyi a {6} esemény valószínűsége (tehát így triviális a feladat)

Érdekes, egy matemamatikus hallgató ismerősöm szinte mindenre ezt mondja: nincs ilyen. Úgy látszik, minden szakma elitje szereti azt a kifejezést, hogy "there's no such thing."

Már csak a hecc kedvéért is: mi az, hogy valószínűség?
Szerintem ilyen nincs (á lá Szabó Laci). Úgyhogy a kérdést sem tudom értelmezni. Válasz sincs. :)

Nézd, ha úgy választod meg a ,,modelledet'', ahogy tetted (nevesen amivel 1/21 jön ki), akkor igazad van. A kérdés az, hogy miért így választod meg. Én például egy olyan modellt választok, ahol mondjuk 1/2 valószínűséggel Caesar megjelenik, elkapja a kockákat földetérés előtt, és bedobja a Rubiconba. NEM viccből teszem, szerintem ez is egy lehetőség (pl. tudomisén vallási okokból :-) ). (és az az érv nem tetszik, hogy vizsgán másképp döntenék...) Akkor most mi van? Sanyi bácsi meg olyan modellt választ, ahol csak hatosok jönnek ki. Miért ne tehetné meg? Megteheti. Legfeljebb ,,mosolygunk'' egy jót, hogy azért ez ,,nem túl reális'' stb.

A feladat nem matematikai (mert pl. kockák nincsenek ZFC-ben :-) ) Itt az a feladatod, hogy hallasz két különböző érvet - modellt, és választanod kell a kettő között. Amit én mondok, hogy szerintem ,,ésszerűbb'' az egyiket választani, és erre írtam egy példát, ahol szerintem ugyan az a hiba jelenik meg (az a bizonyos 1/2-es, valahol lent), csak kicsit jobban szemet szúr...

És akkor a hatoldalú elektron. Hat energiaszinten helyezkedhet el 2 elektron (egy szinten lehet 2 elektron, csak több nem (Pauli-elv)). Mennyi a valószínűsége, hogy mindkét elektron a 6. energiaszinten van?

pl.:

6------O-------
5---------------
4---------------
3------O-------
2---------------
1---------------

Várom az őszinte felháborodást, hogy „Hát azért a kockákról, a kártyákról, meg a postai pénzutalványokról mégiscsak többet tudunk, mint az elektronokról!”

Én is feltennék néhány kérdést Zalánnak.

1. Hogyan igazolod, hogy egy életből vett szituációban, egy adott véges eseménytér esetén a valószínűségek milyen módon oszlanak meg? (méréssel, statisztikával, azaz nem matematikai úton)
2. Honnan tudjuk, hogy független a két dobás? Honnan tudod, hogy P("az első kockával x-et dobunk" és "a második kockával y-t dobunk") = P("az első kockával x-et dobunk") szorozva P("a második kockával y-t dobunk")? Hiszen pont ez a függetlenség definíciója. (méréssel, statisztikával, azaz nem matematikai eljárással)
3. Hogyan dötöd el, hogy melyek az elemi események, melyekre alkalmazhatod a klasszikus valószínűségi eloszlást, a rendezett párok, vagy a rendezetlen párok? (méréssel, statisztikával, azaz nem matematikai eljárással)
4. Akkor milyen gondolatmenet (gondolat!) igazolja az 1/36 valószínűséget? (ugyanúgy mint a 1/21 esetén nincs ilyen előfeltevésektől mentes gondolatmenet)

Szerintem a matematikusok közül dani értette meg, hogy mi a problémám (és mondott nemet rá, mert így döntött). A feladatban rejtett feltevésként van rögzítve, hogy az elemi események tere a rendezett párok, ezekre kell egyenletes eloszlást feltételezi és ezalapján számolni a rendezetlen eseteket. Ugyanennyi erővel, gondolatainkra hagyatkozva feltételezhetjük azt is, hogy a 21 elemi eseményre alkalmazzuk az egyenletes eloszlást.

A felvetődött 22 esetes lehetőség, meg Dávid felvetési lényegesen más besorolásba tartoznak. Megpróbálom megfogalmazni a gondolataimat és ezek ráadásul Ferenc hol a határ problémájára is válaszok . A pedagógiai szituációban nagyon is elképzelhető, hogy a gyerek hülyéskedésből azt mondja, hogy "és ha élére esik a kocka?". Állítom azonban, hogy vizsgaszituációban, amikor a felvételije, vagy csak az évvégi jegye függ a kérdéstől nem fog hülyéskedni ezzel. Pontosan tudni fogja, hogy mi poénkodás és mi nem az, és erről azt fogja feltételezni, hogy nem valószínű, hogy ez lenne a válasz (mármint, hogy vegyük figyelmebe az élére, vagy csúcsára eső kockát). Ellenben joggal gondolhatja, hogy matematikailag megalapozott (mindenféle komolytalankodástól mentes), ha a valós problémára olyan matematikai modellt feltételez, amiben az összes lehetséges kimenetelt tekinti, azaz 6 elem másodrendű ismétléses kombinációját (ráadásul ez hivatalosan is hangzik) és minden elemi kimenetelt ugyanolyan valószínűséggel vesz figyelembe. Azt megszokta, hogy a matematikai modellekben a súrlódást meg mindenféle ilyet nem veszünk számításba. Nem is lehet, ahogy az élére álló kockával sem tudna számolni, mert nincs rá vonatkozó szám, adat. És mivel, akinek csak kalapácsa van, annak minden probléma szögnek látszik, kényszerű kelletlen a kedvező/összes képlettel kell számolnia. A modellel jól számol, csak nem kap fizikailag helyes adatot (de azért közelítően jó eredményt kap). Akkor Ptolemaioszt hülyézzük le, mert nem gondolta, hogy ellipszispályákkal kell számolni? Volt a gondolatmenetében hiba? (nem, csak a modellje nem volt alkalmas) Követett el matematikai hibát? (feltehetően nem.)

(Had védjem meg a matekot. Az mítosz, hogy a matekban a hozott képességek szerepe a legnagyobb. Ha csak rátekintek a matek érettségikre, amik a kezemben vannak, ha nem is sokkal, de jobbak lettek, mint a magyar vagy a töri. A matekban szerencsére nem jön elő a szövegértés, vagy ha mégis, a kollégák tolerálják és megértően viszonyulnak a félreértelmezésekkel szemben. Ellenben a nyelveknél, vagy az irodalomban vagy a törin nagyon rigirózus szabályok vannak. Mutathatnék példákat, hogy a matek javítási útmutató a teljesen zavaros, totálisan rossz válaszokra is képes adni annyi pontot hogy abból meglegyen a kettes (sőt inkább hármas!), míg a magyar első 60 perces szövegértésénél ott izzadtak szerencsétlenek és alig gyűjtöttek pontot. A minisztériumban azt gondolják, hogy ha a kimeneti követelményt megváltoztatják, akkor az intelligens tanárok autómatikusan átállnak az új pedagógiai módszerekre. De könyörgöm, aki 20 év alatt kialakított magának egy jól működő módszert, annak megint 20 év kell, hogy az újat is kialakítsa, hiszen ebbe a teljes személyiségét beleépítette. Persze ha az egyetemen nem arra az egyetlen únásig ismételt mondatra épülne a tanárképzés, hogy "az adott szituációban a tanár személyiségétől függ minden", hanem tényleg tanítanának 1000 módszert, akkor mindegy lenne, hogy a numeró 563. vagy a numeró 426. változat szerint tanítok jövőre.

Egyébként ezt a vitát inkább valami "kétszintű érettségi" vagy "az oktatási reform szükségességéről" című topikban lenne folytatni.)

Valoban errol lenne szo. En azt hiszem hogy minden emberseges oktatasi rendszer figyelembe veszi a "magahoz kepest" elvet - azaz mennyit tanul (nem oraszamban, hanem tenylegesen mennyit tanul meg) es mennyire igyekszik a gyerek. Nem csak azt hogy hogyan teljesit egy "abszolut" merce szerint, hanem hogy hova jut el, es honnan...

Ugyanakkor a merce sajnos a matekban a legabszolutabb (mivel elvileg ugyebar egzakt a matek, es a kozepiskolai legalabbis feltetlenul az akar lenni; a ketertelmusegek kivetelesek, legalabbis szerintem, habar en is ertettem felre szovegeket annak idejen neha), es emellett a matekre eleve azt szokas mondani hogy a hozott kepessegek szerepe nagyobb (ezek csak reszben tarsadalmilag determinaltak, nem annyira kulturalis hatter altal mint pl. az irodalom iranti fogekonysag).

Ez nem a dobókockákról szól, hanem egy reagálás Dávid off topic hozzászólására: példaként mindig a skandináv országokat szokás felhozni, ahol nincs válogatás, hanem komprehenzív iskolák vannak, és a PISA-teszteken az élvonalban vannak. Szemben Magyarországgal, ahol van vál., és finoman szólva nem élvonal.
Az viszont igaz, hogy a nem-válogatós, komprehenzív iskolarenszer akkor működik, ha megvan hozzá a megfelelő pedagógiai-pedagógusi kultúra. Vagyis nem az van, mint nálunk, hogy ha több különböző "képességű" (figyelem! ideológiailag terhelt szó! vagyis gyakran nem belső értékeket, hanem származási-társadalmi háttérbeli különbségeket fed el, de ez hosszú) gyerek van egy osztályban, akkor ezek egy (nagy) része lemarad / unatkozik.
Nagy és általam ismeretlen irodalma van annak, hogy hogy lehet azt megcsinálni, hogy ez ne következzen be; nyilván hülyeség azt gondolni, amit néha az oktatási reformok bevezetői nálunk gondolni látszanak, hogy elég megtiltani a válogatást, meg mindenféle kétes hatékonyságú pedagógustovábbképző tanfolyamokat indítani, és máris skandináv ország leszünk.

Ezt egyébként már én is említettem.
Jee, kételyem most már matematikai megfogalmazást is nyert!

Sőt! (ha az előző nem győzött meg). Ráadásul rosszul van kiszámolva az összes eset. Nem 21, hanem 22, mert azt nem számoltuk bele, hogy mi van, ha mindkét kocka az élére esik :-)). Tehát akkor kedvező/összes = 1/22 Neeemm?? :-)

(erre már Károly is utalt, csak ő ekvivalenciaosztályokat használt abból az indokból, hogy ha a metrón beszélgetnénk erről, akkor a többi utas számára nagyon komolynak tűnjön a beszélgetés :)

Igen, és ajánlom a stratégiát mindenkinek - múltkor így sikerült elérnem, hogy valaki átadta nekem a helyét a tömött metrón, mert azt hitte magas lázzal éppen félrebeszélek :)

Nem tudok belekötni az 1/21-be, de sajnos e tekintetben kicsit konzervatív vagyok. Mit jelent az, hogy ez nem matematikai hiba? Mi az, ami már matematikai hiba? Ha valakinek 1+1-re az jön ki, hogy 1, és azzal védekezik, hogy nem tudta, hogy a + az összeadás jele, hanem azt hitte, hogy a szorzásé, akkor az nem matematikai hiba? Gondolom, hogy ezek szerint nem. De én azért csak nem adnék neki maximális pontot, mivel aki olyan hülye, hogy 18 évesen nem tudja, mit jelent a + jel, az valószínűleg fölöslegesen próbálkozik felsőoktatási intézménybe felvételt nyerni, és talán még jót tenne neki néhány év repeta a padban. Tudom, a nézetem felháborító, korlátolt és reakciós, de azt hiszem, oktatásügyben kezdünk kicsit elrugaszkodni a józan észtől. Engem legalábbis felbőszít, hogy szegregációellenesség címén megvonják az iskoláktól a válogatás lehetőségét (már látom a kort, amikor a munkahelyekre is inkább sorsolás útján válogatják ki az alkalmazottakat). Az esélyegyenlőség nem azt jelenti, hogy minden iskola színvonalát egyforma alacsonyra szállítjuk le.
Az meg különösen bosszantó, hogy mindezt a liberalizmus nevében teszik. Szerintem a liberalizmus a szabad versenyről (is) szól. Miféle szabad verseny az, ahol egy iskola nem válogathatja meg, kit vesz föl?
A felvételi meg szörnyű, belenéztem, sikerült olyanra megcsinálni, hogy egy félig értelmi sérült ötéves is megírja 80%-ra. Király, most mindenki 90%-okat ír, és nem lehet megállapítani a különbségeket a felvételinél.

Na jó, abbahagyom, ez különben sem vág a témába. Nem vonom kétségbe a jó szándékodat, de szerintem nem jó irányba haladnak a dolgok.

Komolyabbra fordítva a szót, szerintem nincs éles határ a matematikai és a nem-matematikai hiba között. OK, lehet hogy ha valaki 1/21-et számol, az nem matematikai hiba. De mi köze ennek a "középosztály-orientáltsághoz", amit említettél? Mindenki tudja, milyen egy dobókocka, ehhez nem kellenek különösebben mély ismeretek. Akinek az jön ki, hogy 1/21, az valószínűleg nem azért számol így, mert nem tudja, mi történik, amikor két dobókockával dobunk. Sokkal valószínűbb, hogy tudja, mi történik, és ezt alapul véve rosszul számol. Pontlevonást neki, grrr!

Nem akarom ragozni az eddigieket, de azért....
Szóval a "klasszikus valószínűség"-re hivatkozol.
Akkor négy kérdésem van:

1. Ott nem feltétel, hogy az egyes események egyformán legyenek valószínűek?? (de)

2. A példában az egyes események egyformán valószínűek? (nem)

3. Akkor jogos hivatkozni a "jó esetek/összes eset" ,,szabályra'' ? (nem)

4. Tehát akkor a gondolatmeneted bizonyítja az 1/21-et? (nem)

Köszönöm, most már világos, mint a nap! Fogok rajta gondolkodni.

Lol... az említett Pogáts Ferenc volt a matektanárom gimiben, és ő volt az, aki a rejtélyes rossz bizonyításokat bemutatta. Ezekből néhány (az ízelítő kedvéért):

- 1+1 = 3

- a háromszög szögeinek összege mindig több, mint 180 fok

- gyök 2 racionális szám.

Sajnos már nem emlékszem, hogy néztek ki a bizonyítások, csak arra, hogy teljesen meggyőzőek voltak, és sose tudtuk megmondani, miért rosszak. Nagyon bírtuk, és hatalmas szövegei voltak! :-) Kicsi a világ.

Számomra a kérdés az, hogy lehet-e nem matematikai természetű hibáért, vagy másképp értelmezésért levonni pontot a matematika érettségin. A városi legenda szerint idén Pogáts a Fazekas neves tanára, a matek "zöldkönyv" egyik alkotója felhívta a mostani érettségi készítőjét, hogy megtudakolja, ezesetben (neki is volt olyan diákja, akinek nem akart pontot levonni, bár nem tudta, hogy mi az, hogy "tét" és másként értelmezte) mi a teendő. A válasz az volt, hogy ha a diák saját rendszerén belül nem követett el matematikai hibát, akkor jár a maximális pont. Nos, próbáltam egy ilyen példával előhozakodni.

Az 1/21 lehet egy ilyen problémás eset. Az ugyanolyan kockákkal történő dobás kimeneteleinek száma (erre már Károly is utalt, csak ő ekvivalenciaosztályokat használt abból az indokból, hogy ha a metrón beszélgetnénk erről, akkor a többi utas számára nagyon komolynak tűnjön a beszélgetés :) pont 21. Ez azért van, mert 36 az összes kimenetel száma, ha megkülönböztethetőek a kockák, ebből 6-nál ( (1,1), (2,2), ...) mindegy a sorrend, a többi 30-ban viszeont mindent 2-szer számoltunk, tehát 6+(30/2)=21 a megkülönböztethetetlen esetben. Számunkra a kedvező esetek száma 1, a két hatosos, így a klasszikus valószínűség definíciója szerint: kedvező per összes = 1/21.

Kedves Mozó, vagy bárki más.

Elhiszem, hogy remekül szórakoztok, de én azon szerencsétlenek közé tartozom, akik nem értik a vitát, de szeretnék megérteni. Kérlek magyarázd el a hozzám hasonlóak kedvéért, hogyan lehet bizonyítani azt, hogy 1/21 az esélye annak, hogy 6-ost dobjunk. Úgy, hogy egy nem matekos szakos, de emeltszintű matek osztályt végzett ember megértse. (Igen, ez a középosztályos önzés! :-)) Kösz előre is.

másként közelítenénk meg a kérdést. Mindkét megoldás jó, tehát 21=36. Tehát én vagyok a pápa.
(Van az az anekdota, amiben Russellt (?) megkérdezik, hogy hogy lehet, hogy hamis állításból bármi következik; hogy akkor abból, hogy 2*2=5, következik, hogy ő a pápa? És igen, bebizonyítja.)

Zoltán, nem tudom meddig lehet ezt az "így is lehet gondolkozni logikusant" tágítani. Pl. azt is lehet mondani hogy vagy 100% vagy 0% hogy kijön (hiszen vagy kijön vagy nem), és akkor mondjuk átlagolunk: 50%? Erre mit mondanál, hiszen ez a legkézenfekvőbb (mondhatni leggyerekesebb) logika, és ugyebár még "pszichológiai realitása" is van, mert mikor pl. egy játékban két hatost kell dobnunk csak erre a két verzióra gondolunk (mármint hogy vagy sikerül, vagy nem). Szóval akkor pl. ezt is el lehet fogadni a Te megengedő matematika-felfogásod szerint, vagy ez már sok?

Ezt azért kérdezem, mert értem az elvet, de nem tudom hogyan lehet meghatározni alkalmazási körét (mennyire lehet egyéni gondolkozás függvényévé tenni a "jó megoldást"). Mégpedig meg kellene határozni (hogy mondjuk akkor jó, ne 1 jó megoldás legyen csak, de 12 és nem 13!). Erről mit gondolsz?

(Lehet, hogy te ugy gondolod ezt sok elvarni egy kettes matek erettsegihez?

Tudod dani én egy olyan külvárosi középiskolában tanítok, ami nagyon szegregációgyanús helyzetben van és nagyon elegem van abból, hogy ezek a gyerekek csak azért mert a 8. vagy 9. kerületben laknak, vagy Budapest aglomerációjában, nem tudnak sem számolni, sem írni, sem beszélni, egyszerűen nem bírják a magyar nyelvet és ezt úgy kérik rajtuk számon, mintha az ő hibájuk lenne. Ha még a matek érettségijük is a középosztály közmegegyezésekkel teli nyelvén szól hozzájuk, akkor valóban esélyük sem lesz felzárkózni. Ha az 1/36-od mellett csak annak az ex katedra kijelentett 2 mondatnak a megtanulásáva, vagy enélkül kovariancia mátrixokkal lehet érvelni, akkor hagyjuk és inkább tanuljunk magyar írott szöveg értést matek helyett, többet érünk vele.)

Ha arra nem voltál lusta, hogy hozzászólj a vitához, akkor tedd légyszi értelmessé azzal, hogy bölcsészek (értsd nem matematikusok) számára is érthető módon kifejted az érveidet. Megjegyzem, a hozzászólásodban megpendített gondolat már nekem is eszembe jutott, de úgy döntöttem elégséges matematikai kritériumok keresése az 1/36-os válaszhoz önmagában nem mentesítené a feladatot a (nyelv)filozófiai problémáktól.

Ugyanígy helyes megoldás a 0, csak úgy kell megválasztani a dobókockákat.

Pl. ezekkel dobva sohasem kapunk két hatost eredményül.

Tehát a feladatba belekötni könnyű.

Viszont ha elfogadjuk, hogy az 1/21 is helyes megoldás, meg kell magyaráznunk, hogy hogyan tapadnak össze a kockák, ha egyszerre dobjuk őket, és miért nem, ha mondjuk egymás után. Ha erre is tudunk magyarázatot adni, akkor elfogadható az 1/21...

Vagy meg kéne tanítani a gyerekeket arra az áltudományra, amit úgy hívnak "a kockák viselkedéstana"?

A 'hatoldalu kockak viselkedestana' nevu tudomany ket mondatbol all:
1. Az eldobott kocka 1/6 valuszinuseggel esik adott oldalara.
2. Tobb kocka dobasa eseten, az egyes kockak eredmenye fuggetlen a tobbitol.

Ha elfogadod mindkettot, akkor a valasz 1/36.
Ha elfogadod (2.)-t, akkor matematikailag nem lehetseges az egyenletes eloszlas a 21 kimeneted folott.
Ha csak (1.)-et fogadod el, akkor bizonyos korlatok teljesitese mellett tetszoleges valoszinuseg eloszlas lehetseges. En lusta vagyok ellenorizni, hogy vajon a te megoldasod kielegiti-e a korlatokat, de azt gyanitom hogy nem. (A ket dobas kovariancia matrixat kell megadnod.)
Ha egyiket sem fogadod el, akkor meg tobb valoszinuseg eloszlas lehetseges, de szerintem a tied meg akkor sem.

Lehet, hogy te ugy gondolod ezt sok elvarni egy kettes matek erettsegihez?

Pont a kódolással van bajom. Mi az, hogy függetlenség és hol van ez a szövegben? Honnan tudjuk, hogy a kimenetelek (a szöveg állításásval szemben) rendezett párok, illetve honnan tudjuk, hogy úgy kell vennünk, hogy az eseménytér elemei először is rendezett párok és ebből kell kiválasztani az ugyanolyanoknak tekinthető párokat? Ha annyit tudunk, hogy a kimenetelek összesen 21-e vannak, akkor ugyanolyan jogon érvelhetünk az egyenletes eloszlás mellett, mint a nem egyenletes mellett. Pontosabban, hogy a Descartes-szorzat elemei között osztjuk el egyenletesen az 1-et, vagy a kételemű részhalmazok elemei között. Mindkettő tökéletes megoldás, hiszen ember nincs aki ellenőrizné melyik valósul meg (szeretnék érveket hallani amellett, hogy a kockák ilyen esetben úgy viselkednek mintha két megkülönböztethető tárgy lenne, csak "elfelejtjük" a különbözőségüket). Vagy meg kéne tanítani a gyerekeket arra az áltudományra, amit úgy hívnak "a kockák viselkedéstana"?

Annak a valószínűsége, hogy esernyőt visz magával kedvező/összes, azaz 364/365 (feltéve, hogy nem szökőév volt! :) Annak a valószínűsége, hogy esernyőt visz magával, ha esik: 1/1 = 1. Nem tudom mi indokolná az 1/2-et?

Irtad, hogy ,,matematikailag lehetséges''. Szerintem nem ez a helyzet. Amint átkódoljuk matematikára a feladatot (független val.változók, stb.), onnantól kezdve egyértelmű a megoldás (vagy ellentmondást fedeztünk volna fel: 1/21 = 1/26 ??). Esetleg az lehet kérdés, hogy hogyan fordítsd le a feladatot matekra. Mondok egy egszerűbb példát, ahol kb. ugyan az a hiba előjön: XY okos ember, ezért _mindig_ visz magával esernyőt ha esik. Balszerencséjére, ahol él, ott 365 napból 364 nap esik az eső. A kérdés: milyen valószínűséggel fog magával vinni esernyőt??. "Megoldás": mivel vagy esik az eső, vagy nem, ezért 1/2.

Így van. Pusztán arra hívtam fel a figyelmet, hogy a feladat nem jelöli ki az eseménytér feletti valószínűségi eloszlást, azaz, hogy az adott kimenetelek milyen valószínűséggel járulnak hozzá az 1 értékű összeghez. Azt csak a 100 éves feladatmegoldó hagyomány feltételezi, hogy ekkor 2/36-od esik egy {2,3} típusú párra. Persze valószínűleg a kísérleti eredmények ezt adják (ezt legyetek szívesek megmagyarázni!), de a matematikusokat ez nem érdekli. Az eset pont fordítottja a matematikatörténetben de Méré márki történetének, ahol a hagyomány a "három dobásból lesz hatos" kérdésre valahogy válaszolt, de később a márki rossz érzését igazolva Pascalék ezt a megoldást rossznak minősítették. Valószínűleg nem valósághű az 1/21-ed válasz, de matematikailag lehetséges. (Egyébként a matematikus válasza 0. közelítésben alkalmasint tényleg az, hogy klasszikus valószínűségi mezőt választ és minden kimenetelre egyenletesen osztja el a valószínűségeket.)

Mozó érvelése hibátlan - lenne, ha...

Szóval valóban 21 kimeneti lehetőség van, de ez még nem jelenti azt, hogy akkor 1/21 az esélye egy adott kimenetnek, mert azt is bele kell venni, hogy más valószínűségi tér felett vagyunk. Mert pl. a {2,3} eredményt két féle képpen is kidobhatjuk: (2,3), (3,2). Igy jön ki a 21 lehetőség. De ez azt jelenti, hogy kétszer nagyobb az esélye annak, hogy {2,3}-at dobunk, mint annak, hogy {6,6}-ot dobunk, mert azt csak egyféle képpen tehetjük meg: (6,6). Szóval lehet persze úgy is számolni, hogy 21 lehetőség van, csak akkor egy másik valószínűségi mértéket kell választani, ami figyelembe veszi a különböző kimenetelek ,,súlyozását''. Igy is 1/36 fog kijönni.