Shelah és a pcf – új szemlélet a számosság aritmetikában

Cantor kontinuumhipotézisét gyakran említik mind a logika, mind a matematika filozófiájában, de akár az analitikus nyelvfilozófia alappéldája is lehet olyan kijelentére, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható. Cantor bebizonyította, hogy a természetes számok ℵ_0 (alef null) számossága kisebb, mint a valós számok c (gót kis cé) számossága. Cantor maga vetette fel, hogy plauzíbilis az a feltevés, hogy nincs e kettő között más számosság. Ez a Cantor-tétel szerint azt jelenti, – lévén c = 2^(ℵ_0) – hogy ℵ_0 és 2^(ℵ_0) között nincs számosság.

(Nem mondhatjuk, hogy a számosság csak a matematikusokat érdeklő fogalom. Már Hume úgy definiálta, ahogy lényegében manapság is teszik azt a matematikusok. Putnamnál pedig lényeges szerepet játszik a nyelvfilozófia egy antinómiájának feltárása során, ahol a számosság fogalmán múló leszálló Löwenheim–Skolem-tételt használja fel.)

Hilbert a kontinuumhipotézist (kódja: CH) az első helyre tette a megoldatlan matematikai problémák listájában. Választ először Gödel adott, amikor igazolta, hogy CH nem cáfolható, azaz tagadása (¬CH) nem bizonyítható. Később Cohen belátta, hogy CH nem is bizonyítható. Ez persze meglepő, hiszen a kérdés az volt, hogy van, vagy nincs a két említett számosság között harmadik. Mindkét eset érdekes lett volna, hiszen ha van, melyik az, ha nincs miért nincs. De a harmadik eset valósult meg, azaz, hogy a halmazelmélet nem árul el semmit ilyen számosság létéről, így a metafizikai kérdések közé száműzi a hipotézis megválaszolását.

Mindezekbe aztán bele is nyugodtak az illetékesek és nem is foglalkoztak többé számosságaritmetikával (Gödel az ontológiai istenérvet próbálta formalizálni, Cohen – miután feltalálta a függetlenségi bizonyításokban máig használt forszolást – differenciálegyeneteket kezdett oldogatni). Másokra maradt a számossághatványozás, például Kőnig Gyulára. Kőnignek van egy nevezetes tétele, ami szerint akármely λ számosságra a 2^λ számosságot λ-nál több darab, 2^λ-nál kisebb számosságból lehet csak összegként előállítani. Egy κ számosság kofinalitásának nevezzük azt a számosságot, ahány nála kisebb számosság összegeként előáll. Tehát:

2^λ kofinalitása mindig nagyobb λ-nál

Sokáig olybá tűnt, hogy mivel a számossághatványozás (pl.: 2^λ) értékei Gödel és Cohen tételei miatt eldönthetetlenek ezért a hatványfüggvény elmélete végtelen számosságokra triviális elmélet. A hatványok értékei ugyanis bármik lehetnek (feltéve, hogy engedelmeskednek a Kőnig-tétel állításának és még néhány technikai jellegűnek vélt kikötésnek).

Kőnig eredménye után még számos kisebb eredmény született, mely azonban nem változtatott azon a véleményen (mondjuk a számosságaritmetika korai paradigmáján), hogy a végtelen hatványok értékei az axiómák szintjén lényegében tetszőlegesen beállíthatók. Elég az hozzá, hogy az azóta Bolyai-díjas Saharon Shelah a 80-as évek közepén előállt egy tétellel és egy egészen új bizonyítási eljárással, mely megrengette a hatványozás eme trivialitásának képét. Nem az egyedi számosságok értékeit vizsgált, hanem egy „hipotetikus” hatványfüggvény algebrai tulajdonságait. Olyan „globális” tulajdonságait tárta fel, az egyedi értékeiben határozatlan hatványfüggvénynek, melyekből sok számosságaritmetikai állítás eldönthetősége következett. Mi több módszerével, melyet a lehetséges kofinalitások elméletének nevez (theory of possible cofinalitites, pcf) sok olyan kijelentés bizonyíthatósága is kijött, amelyekről addig csak annyit tudtunk, hogy konzisztensek a halmazelmélettel (azaz cáfolhatatlanok, összeférhetők vele).

Shelah rámutatott, hogy vakvágányra tévedt a halmazelmélet, amikor a függetlenség illetve a konzisztencia (az összeférhetőség értelmében) vizsgálatánál maradt a bizonyíthatóságé helyett. A hőskorban, amikor még kevés független kijelentés volt, ez érdekes fejlemény, de egy idő után sokkal érdekesebb lett volna „rendet rakni” az addigra felgyülemlett sok konzisztens kijelentés között. Ahogy Csirmaz László fogalmazott:

„A hatványfüggvény értéke két részből tevődik össze. Az egyik a „zaj”, az esetlegesség, amit a függetlenségi eredmények is mutatnak. A másik rész a pcf elmélet algebrai struktúráiba van beírva, ami viszont abszolút, eldöntött. A számossághatványozást ezeken a struktúrákon keresztül kell vizsgálnunk, hiszen ezek kevésbé terheltek a statikus zajjal. Ezek vizsgálatán keresztül érthetjük meg igazán, hogy milyen törvényeknek engedelmeskedik tulajdonképpen a számosságaritmetika.”

A „zajos” hasonlatot folytatva a halmazelmélészek sokáig úgy tettek, mint a hangmérnök, aki a zenei műveket aszerint próbálja értékelni, hogy melyikben mely időpontban van zaj és mikor jel. Ahelyett, hogy azt vizsgálná, hogy milyen a jel burkológörbéje és mintázata azaz a dallam. Általánosabban fogalmazva. Egy elmélet esetén nem csak azt kell megvizsgálnunk, hogy melyek az elmélettel konzisztens állítások, hanem érdemes azt is megnézni, hogy a sok konzisztens ill. független kijelentés hogyan rendeződik el, hiszen lehet, hogy ebből is információt nyerhetünk. Ahogy a Gödel tétel totális módon állít egy negatív eredményt (azaz a halmazelmélet egyik ellentmondásmentes bővítése sem lehet teljes), úgy reményünk lehet totális pozitív eredményekre, mely a halmazelmélet egy témaköréhez asszociált konzisztens kijelentések körül tesz releváns állításokat (például, hogy bárhogy is bővítsük ellentmondásmentesen a halmazelméletet, a hatványfüggvény mindig ilyen és ilyen tulajdonságú lesz).

A részleteket tekinve lásd még:

Link Recenzió S. Shelah ''Cardinal arithmetic'' című könyvéhez
Link L. Csirmaz: Laudation of Saharon Shelah for receiving the Bolyai Prise (in Hungarian)