Deduktív-induktív kontra iteratív-komprehenzív

Rónai András blogján (A fenomenológia analitikus filozófiai kritikája) mellékszálként fut egy matematikafilozófiai vita, valami olyasmiről, hogy mennyiben terep a matematika a naturalista tudománymetodológia számára. No, ezt nem tudom. Azt viszont az utóbbi idők nagy eredményének vélem, hogy kiderült, a matematika legalább két ellentétes szemlélet ütköztetéséből jön létre -- és ez nem a deduktív-induktív fogalompár, ahogy azt a didaktikusok erőltetik. Talán emiatt nem tud nyugton maradni a matematika a természettudományok metodológiájának "tornapadján".

Boolos hívta fel a figyelmet arra, hogy a halmazelméletben legalább(!) két szemlélet keveredik (erről), a halmazépítő iteratív szemlélet és a halmazokat mint monadikus predikátumok igazságtartományait kezelő komprehenzív szemlélet. Én azt gondolom, hogy ez a kettősség az egész matematikára áll és ezt jó okom van feltételezni, hiszen a matematika megfogalmazható a halmazelméletben(?).

Egy matematikus tevékenysége, ahogy én látom nagyon hasonlít egy természettudós tevékenységéhez, csak ahol a kísérletet keresnénk, ott a konstrukció áll és körülbelül ugyanolyan kétségbevonhatatlanul biztosítja az igazságot, mint a fizika akárhányszor reprodukálható kísérletei. Azt hiszem mindenki számára nyilvánvaló, hogy egy matematikus a természetes számokat vizsgálva nem kavicsokat vizsgál és nem sok számú, a kavicsokra vonatkozó kísérletből von le valami általános következtetést. Lehet ezt gondolni, lehet a tanulóifjúsággal egy irányított foglalkozáson ezt játszatni és igazoltnak látni, hogy a kavicsokkal való kísérletek vezetnek a matematikai sejtésekig, de attól még a matematikusok nem ezt csinálják (hiszen hol is van ott a "tanár", aki irányítani tudná a kísérleteket -- fogalmuk sincs mik a lehetséges irányok).

A természetes számok egymásra következéséből nagyon sok következtetést le lehet vonni. Ezt a konkrét konstrukciót a rekurzív matematika módszereivel kiválóan vizsgálhatjuk, de ha a matematikus tevékenysége ebben kimerülne, akkor ő nem lenne más mint egy számítástechnikus. Ám milyen állításokat tehetünk a természetes számok végtelen, de nem rekurzív részhalmazairól? Óriási kérdése a matematikafilozófiának: a természetes számok külön-külön megkonstruálhatók, de létezik-e konzisztens elmélet, amely az összes természetes számok halmazáról, illetve ennek akármilyen részhalmazáról beszél?

Ilyen esetben a matematikus egyrészt reménykedik, hogy létezik olyan konstrukció mely N-et megvalósítja, másrészt beindul a fantáziája, hogy ha lenne ilyen, akkor milyen lehet ez. Végig veszi a logikailag lehetséges szituációkat és köztük kapcsolatokat, struktúrát próbál keresni. De még mindig kérdéses, hogy a sok lehetséges világ közül melyik valósul meg ténylegesen, holott már nagyon sokat tud ezek kapcsolatáról. Tevékenységének mozgatórugója, hogy konstrukciót keres a lehetséges világokhoz. Ha elég jól feltérképezte a lehetséges világokat és sok konstrukciót talált, akkor megnyugszik: most már nem lehet nagy baj. Ugrik egyet felfelé és ismét megkérdezi: hogyan lehetne másként?, és a lehetséges világok feltérképezése és megkonstruálása újra elindul. Így épült ki a Riemann-integrál elmélete. Cauchy csak a folytonos függvények biztos "konstrukcióin" vizsgálódott. Riemann feltette a kérdést, ugyanennek a struktúrának milyen esetei lehetnek még? Lebesgue (majdnem!) teljesen feltárta a Riemann-integrálható függvények osztályát és ezzel az elmélet lezárult. Eljött a Lebesgue-integrál kora.

A logikai bizonyítás konstrukciója igazolja a lehetséges világok strukturális viszonyait, a matematikai konstrukció (számok, pontok, ...) igazolja azt, hogy ezek közül melyek valóságosak. Mindkét vizsgálódásnak jelen kell lennie, hogy a matematikus az legyen ami.